Tre nøtter for alle

[Markus]

I anledning forespørsel etter problemer som appellerer litt mer til ungdomsskole- og VGS-elever, så er her tre nøtter for alle mann alle.

1) Per har 13 par med sokker kastet rundt på gulvet. Lyset har gått, og han klarer ikke å se forskjell på sokkene. Hvor mange sokker må han ta opp fra gulvet før han kan være helt sikker på at av alle sokkene han har i hånden, så har han minst et par?

2) I en gruppe på 20 personer sender hver person på et tidspunkt, brev til 10 av de andre. Vis at det finnes to personer som sender brev til hverandre.

3) Lisa skriver ned tallene $1,2,3,4,5,\dots,100$ på tavlen. Nils velger to av tallene, visker de ut, og skriver ned summen av de to tallene på tavlen istedenfor. Altså, hvis han for eksempel velger 1 og 2 vil det stå $3,3,4,5,\dots,100$ på tavlen. Nils fortsetter med dette helt til det står igjen bare et tall. Hva er de mulige verdiene for dette tallet?

[Gjest]

på oppgave 3
kan ikke gjenværende tall bare ha en verdi ettersom tallet er en sum av alle tall fra og med 1 til og med 100, 5050

[Gjest]

... fordi to to siste tallene har verdi fra 4950 til 5049 og fra 1 til 99, eller har jeg misforstått?

[Gjest]

mente fra 4950 til 5049 og fra 1 til 100

[Markus]

på oppgave 3
kan ikke gjenværende tall bare ha en verdi ettersom tallet er en sum av alle tall fra og med 1 til og med 100, 5050

Det er helt korrekt - veldig bra! Summen av alle tallene på tavlen er det vi kaller en invariant under prosessen, altså endrer den seg ikke fordi $S \to S-a-b+(a+b)=S$, der $S$ er summen av tallene på tavlen.

Her er en oppfølger som kan løses med samme prinsipp;
Martin og Jens har en sjokoladeplate utformet som et $10\times 10$-rutenett. De spiller et spill der de på hver sin tur enten kan brekke av en rute og spise den, eller brekke opp sjokoladeplaten en gang langs en av rutenettlinjene. Altså f.eks så kunne et gyldig starttrekk vært å brekke 10x10-platen til to 10x5-plater. Den som på sin tur sitter igjen med en udelelig bit taper. Hvis Jens starter, hvem vinner?

[Gjest]

er poenget om å få flest biter?

[Gjest]

Oppgave 1

Han må ta ut 14 sokker
La oss si at alle parene har ulike farger rød, blå, grønn, gul osv.
Hvis Per starter med å ta ut en rød sokk må han trekke en av de andre fargene for å ikke finne et par. La oss så si han trekker en grønn sokk da må han ikke trekke verken rød eller grønn for å finne et par. Slik fortsetter det til han har trukket en sokk av hver farge (en fra hvert par) eller allerede funnet et par. Neste sokk han nå trekker må være matchende med en han allerede har trukket og han vil dermed være 100% sikker på å finne et par.

[Markus]

er poenget om å få flest biter?

Jeg glemte helt å presisere det. Den som står igjen med en $1\times 1$-bit på sin tur taper.

[Aleks855]

Her er en oppfølger som kan løses med samme prinsipp;
Martin og Jens har en sjokoladeplate utformet som et $10\times 10$-rutenett. De spiller et spill der de på hver sin tur enten kan brekke av en rute og spise den, eller brekke opp sjokoladeplaten en gang langs en av rutenettlinjene. Altså f.eks så kunne et gyldig starttrekk vært å brekke 10x10-platen til to 5x5-plater. Den som på sin tur sitter igjen med en udelelig bit taper. Hvis Jens starter, hvem vinner?

Det blir vel to 5x10-plater av et sånt trekk?

[Markus]

Oppgave 1

Han må ta ut 14 sokker
La oss si at alle parene har ulike farger rød, blå, grønn, gul osv.
Hvis Per starter med å ta ut en rød sokk må han trekke en av de andre fargene for å ikke finne et par. La oss så si han trekker en grønn sokk da må han ikke trekke verken rød eller grønn for å finne et par. Slik fortsetter det til han har trukket en sokk av hver farge (en fra hvert par) eller allerede funnet et par. Neste sokk han nå trekker må være matchende med en han allerede har trukket og han vil dermed være 100% sikker på å finne et par.

Selvfølgelig helt korrekt - bra jobba! Dette kalles dueboksprinsippet og er et prinsipp som brukes mye i (matematisk) problemløsning.

[Markus]

Her er en oppfølger som kan løses med samme prinsipp;
Martin og Jens har en sjokoladeplate utformet som et $10\times 10$-rutenett. De spiller et spill der de på hver sin tur enten kan brekke av en rute og spise den, eller brekke opp sjokoladeplaten en gang langs en av rutenettlinjene. Altså f.eks så kunne et gyldig starttrekk vært å brekke 10x10-platen til to 5x5-plater. Den som på sin tur sitter igjen med en udelelig bit taper. Hvis Jens starter, hvem vinner?

Det blir vel to 5x10-plater av et sånt trekk?

Yes, her har jeg rotet fælt. Jeg endret det nå.

[Gjest]

oppgave 3 igjen

Hvis du hadde ganget istedenfor addert tallene, hadde siste gjenværende tall vært 100!, altså tallet du får når du regner ut 100 fakultet? eller gjelder det bare for summering

[Markus]

oppgave 3 igjen

Hvis du hadde ganget istedenfor addert tallene, hadde siste gjenværende tall vært 100!, altså tallet du får når du regner ut 100 fakultet? eller gjelder det bare for summering

La produktet av alle tallene på tavla være $P$. Da vil produktet være en invariant under prosessen du beskriver siden $P \to \frac{P}{ab} \cdot ab=P$, så svaret på spørsmålet ditt er ja - vi vil få $100!$. Har du prøvd deg på sjokoladenøtten jeg la ut? Den kan også løses med å bruke invarianter

[Gjest]

VIl si jens vinner. Tolket den som at Jens kan brekke platen som du sa på 2 x 10*5 ruter på et minimum for å vinne. Da er Martins tur neste gang og han må brekke sin del 49 enkeltganger til han står igjen med en udelelig singel rute:

Jens:Martin
50:50
50:49
49:48
48:47
.
.
.
2:1

Eventuelt kunne Jens brukket platen på 4 andre måter slik at platen/(e) med høyest antall ruter er Jens sine, 60/40 ,70/30, 80//20 eller 90/10 og fortsatt vinne med større margin?

hvis feil, forslag?

[Markus]

VIl si jens vinner. Tolket den som at Jens kan brekke platen som du sa på 2 x 10*5 ruter på et minimum for å vinne. Da er Martins tur neste gang og han må brekke sin del 49 enkeltganger til han står igjen med en udelelig singel rute:

Jens:Martin
50:50
50:49
49:48
48:47
.
.
.
2:1

Eventuelt kunne Jens brukket platen på 4 andre måter slik at platen/(e) med høyest antall ruter er Jens sine, 60/40 ,70/30, 80//20 eller 90/10 og fortsatt vinne med større margin?

hvis feil, forslag?

Litt usikker på om jeg forstår hva du mener. Jeg ser også at jeg har vært veldig dårlig i formuleringen min av oppgaven, så det er ikke rart du misforstår hva jeg mener. Bare glem det jeg skrev tidligere og les den originale oppgaveteksten:

"Alice and Bob have a large chocolate bar, in the shape of a $10\times 10$ grid. Each turn, a player may either eat an entire bar of chocolate, or break any chocolate bar into two smaller rectangular chocolate bars along a grid line. The player who moves last loses. Who wins this game?"

Hint:

[+] Skjult tekst

Hvor mange ruter kan Jens velge mellom på sin tur? Ser du et mønster? Bare oddetall eller partall for eksempel?