Grei tallteori

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Grei tallteori

Innlegg Gustav » 30/12-2018 16:41

Finn alle heltallsløsninger av ligningen $19x^3-84y^2=1984$
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4265
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Grei tallteori

Innlegg Markus » 30/12-2018 18:54

Vi kan skrive om til $19x^3-19\cdot 100 = 84+84y^2$, så $19(x^3-100) = 84(1+y^2)$, men høyresiden er aldri delelig med $19$ siden $y^2 \equiv -1 \pmod{19}$ ikke er løsbar av Eulers kriterium da $(-1)^{\frac{19-1}{2}} \equiv -1 \pmod{19}$. Derfor har likningen ingen heltallsløsninger.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 747
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Grei tallteori

Innlegg Gustav » 30/12-2018 19:23

Selvsagt riktig!
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4265
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Grei tallteori

Innlegg Markus » 30/12-2018 20:37

Mulig du har sett den før, men oppfølger:

La $n\in \mathbb{Z}_{>1}$, vis at $\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{n}$ ikke er et heltall.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 747
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Grei tallteori

Innlegg Gustav » 31/12-2018 15:54

Markus skrev:Mulig du har sett den før, men oppfølger:

La $n\in \mathbb{Z}_{>1}$, vis at $\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{n}$ ikke er et heltall.


Denne mener jeg er postet og løst her minst én gang tidligere, ja.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4265
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Grei tallteori

Innlegg Markus » 31/12-2018 16:14

Gustav skrev:
Markus skrev:Mulig du har sett den før, men oppfølger:

La $n\in \mathbb{Z}_{>1}$, vis at $\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{n}$ ikke er et heltall.


Denne mener jeg er postet og løst her minst én gang tidligere, ja.

Oi, beklager! Det sjekket jeg ikke. Håper ikke denne har blitt spurt før:
Finn alle heltallsløsninger $(x,y)$ til likningen $x^4-6x^2+1=7\cdot 2^y$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 747
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Grei tallteori

Innlegg Gustav » 03/01-2019 05:48

Markus skrev:Finn alle heltallsløsninger $(x,y)$ til likningen $x^4-6x^2+1=7\cdot 2^y$


La først $z=x^2$, så ligningen blir $z^2-6z+1=7\cdot 2^y$, som har løsningene $z=3\pm \sqrt{7\cdot 2^y+8}$. Hvis $y>3$ vil vi kunne skrive uttrykket inni rottegnet som $8(7\cdot 2^{y-3}+1)$, men her vil faktoren 2 være opphøyd i en odde potens (siden $2\nmid (7\cdot 2^{y-3}+1))$), dermed er uttrykket aldri et kvadrattall, så de eneste mulighetene nå er $y=2$ og $y=3$ ($y$ kan ikke være negativt). Gjennom å sjekke de to casene vil man se at de eneste heltallsløsningene er $x=\pm 3, y=2$.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4265
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Grei tallteori

Innlegg Markus » 03/01-2019 13:01

Gustav skrev:
Markus skrev:Finn alle heltallsløsninger $(x,y)$ til likningen $x^4-6x^2+1=7\cdot 2^y$


La først $z=x^2$, så ligningen blir $z^2-6z+1=7\cdot 2^y$, som har løsningene $z=3\pm \sqrt{7\cdot 2^y+8}$. Hvis $y>3$ vil vi kunne skrive uttrykket inni rottegnet som $8(7\cdot 2^{y-3}+1)$, men her vil faktoren 2 være opphøyd i en odde potens (siden $2\nmid (7\cdot 2^{y-3}+1))$), dermed er uttrykket aldri et kvadrattall, så de eneste mulighetene nå er $y=2$ og $y=3$ ($y$ kan ikke være negativt). Gjennom å sjekke de to casene vil man se at de eneste heltallsløsningene er $x=\pm 3, y=2$.

Selvsagt korrekt. Fra den grekse olympiaden 2010.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 747
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 9 gjester

cron