IMC 2002
Lagt inn: 18/11-2018 16:55
Eksisterer det en kontinuerlig deriverbar funksjon $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ slik at $\forall x \in \mathbb{R}$ er $f(x)>0$ og $f'(x)=f(f(x))$?
Matteprat
https://www.matematikk.net/matteprat/
https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=19&t=48315
Bevis ved motsigelse: Anta det fins en slik funksjon $f$. Vi har da at $f'(x)=f(f(x))>0$, så $f(x)$ er strengt voksende. Dermed er $f'(x)=f(f(x))>f(0)$ for alle $x$.Markus skrev:Eksisterer det en kontinuerlig deriverbar funksjon $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ slik at $\forall x \in \mathbb{R}$ er $f(x)>0$ og $f'(x)=f(f(x))$?
Fin løsning! Jeg brukte middelverdisetningen på $[0,x]$, som gir $f(x)=xf'(c)+f(0)$ for en $c \in (0,x)$, så ved å bruke det at $f'(x)>f(0)$ fås $f(x) < xf'(c)+f'(c)=(x+1)f'(c)$ Siden $f'(c)>0$, så sees at når $x \leq -1$ fås samme kontradiksjon. Er vel nesten omtrent helt samme fremgangsmåte.Gustav skrev:Bevis ved motsigelse: Anta det fins en slik funksjon $f$. Vi har da at $f'(x)=f(f(x))>0$, så $f(x)$ er strengt voksende. Dermed er $f'(x)=f(f(x))>f(0)$ for alle $x$.Markus skrev:Eksisterer det en kontinuerlig deriverbar funksjon $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ slik at $\forall x \in \mathbb{R}$ er $f(x)>0$ og $f'(x)=f(f(x))$?
Betrakt punktene $x=-1$ og $x=0$. Av "mean value theorem" fins en $c\in (-1,0)$ slik at $f'(c)=\frac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}>f(0)$, som er ekvivalent med $f(-1)<0$, som er en motsigelse. Ergo fins ingen slik funksjon $f$.
Stusser litt over hvorfor oppgaven presiserer at f skal være kontinuerlig deriverbar. Såvidt jeg kan skjønne er det nok at f er deriverbar. Noen som har noen tanker angående dette?
Det kan hende de gjorde det bare for å forvirre. Det vi har vist er dog et noe sterkere resultat enn det oppgaven spør om, siden mengden av kontinuerlig deriverbare funksjoner er en delmengde av mengden av deriverbare funksjoner (Vi benytter jo aldri kontinuitet av den deriverte i beviset).Markus skrev: Kanskje arrangørene skrev kontinuerlig deriverbar med vilje som en "del" av oppgaven, selv om det ikke er nødvendig?
Betingelsen $f' = f\circ f$ impliserer at $f$ uansett er kontinuerlig deriverbar, ettersom komposisjonen av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig. Riktignok er jeg enig i at det er litt merkelig at det eksplisitt er tatt med i oppgaveformuleringen.Gustav skrev:Det kan hende de gjorde det bare for å forvirre. Det vi har vist er dog et noe sterkere resultat enn det oppgaven spør om, siden mengden av kontinuerlig deriverbare funksjoner er en delmengde av mengden av deriverbare funksjoner (Vi benytter jo aldri kontinuitet av den deriverte i beviset).Markus skrev: Kanskje arrangørene skrev kontinuerlig deriverbar med vilje som en "del" av oppgaven, selv om det ikke er nødvendig?
Godt poeng!DennisChristensen skrev: Betingelsen $f' = f\circ f$ impliserer at $f$ uansett er kontinuerlig deriverbar, ettersom komposisjonen av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig.
Elegant løsning - jeg liker den mye bedre enn den offisielle! Her er den offisielle løsningen hvis du er interessert: http://imc-math.ddns.net/?show=prob&no=4&sol=1zzzivert skrev:Ser gjerne hvordan andre løste oppgaven!