IMC 2002

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

IMC 2002

Innlegg Markus » 18/11-2018 16:55

Eksisterer det en kontinuerlig deriverbar funksjon $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ slik at $\forall x \in \mathbb{R}$ er $f(x)>0$ og $f'(x)=f(f(x))$?
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 750
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: IMC 2002

Innlegg Gustav » 20/11-2018 22:39

Markus skrev:Eksisterer det en kontinuerlig deriverbar funksjon $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ slik at $\forall x \in \mathbb{R}$ er $f(x)>0$ og $f'(x)=f(f(x))$?


Bevis ved motsigelse: Anta det fins en slik funksjon $f$. Vi har da at $f'(x)=f(f(x))>0$, så $f(x)$ er strengt voksende. Dermed er $f'(x)=f(f(x))>f(0)$ for alle $x$.

Betrakt punktene $x=-1$ og $x=0$. Av "mean value theorem" fins en $c\in (-1,0)$ slik at $f'(c)=\frac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}>f(0)$, som er ekvivalent med $f(-1)<0$, som er en motsigelse. Ergo fins ingen slik funksjon $f$.


Stusser litt over hvorfor oppgaven presiserer at f skal være kontinuerlig deriverbar. Såvidt jeg kan skjønne er det nok at f er deriverbar. Noen som har noen tanker angående dette?
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4269
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: IMC 2002

Innlegg Markus » 20/11-2018 23:38

Gustav skrev:
Markus skrev:Eksisterer det en kontinuerlig deriverbar funksjon $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ slik at $\forall x \in \mathbb{R}$ er $f(x)>0$ og $f'(x)=f(f(x))$?


Bevis ved motsigelse: Anta det fins en slik funksjon $f$. Vi har da at $f'(x)=f(f(x))>0$, så $f(x)$ er strengt voksende. Dermed er $f'(x)=f(f(x))>f(0)$ for alle $x$.

Betrakt punktene $x=-1$ og $x=0$. Av "mean value theorem" fins en $c\in (-1,0)$ slik at $f'(c)=\frac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}>f(0)$, som er ekvivalent med $f(-1)<0$, som er en motsigelse. Ergo fins ingen slik funksjon $f$.


Stusser litt over hvorfor oppgaven presiserer at f skal være kontinuerlig deriverbar. Såvidt jeg kan skjønne er det nok at f er deriverbar. Noen som har noen tanker angående dette?


Fin løsning! Jeg brukte middelverdisetningen på $[0,x]$, som gir $f(x)=xf'(c)+f(0)$ for en $c \in (0,x)$, så ved å bruke det at $f'(x)>f(0)$ fås $f(x) < xf'(c)+f'(c)=(x+1)f'(c)$ Siden $f'(c)>0$, så sees at når $x \leq -1$ fås samme kontradiksjon. Er vel nesten omtrent helt samme fremgangsmåte.

Angående det siste spørsmålet ditt, så besitter jeg definitivt ikke nok kunnskap til å besvare det. Men, slik jeg tenker er at siden vi bruker MVT, så krever det vel bare at den deriverte eksisterer i $c \in (0,x)$, eller $c \in (-1,0)$ for din del, ikke at den nødvendigvis er kontinuerlig? Kanskje arrangørene skrev kontinuerlig deriverbar med vilje som en "del" av oppgaven, selv om det ikke er nødvendig?
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 750
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: IMC 2002

Innlegg Gustav » 21/11-2018 00:48

Markus skrev: Kanskje arrangørene skrev kontinuerlig deriverbar med vilje som en "del" av oppgaven, selv om det ikke er nødvendig?


Det kan hende de gjorde det bare for å forvirre. Det vi har vist er dog et noe sterkere resultat enn det oppgaven spør om, siden mengden av kontinuerlig deriverbare funksjoner er en delmengde av mengden av deriverbare funksjoner (Vi benytter jo aldri kontinuitet av den deriverte i beviset).
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4269
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: IMC 2002

Innlegg DennisChristensen » 21/11-2018 09:48

Gustav skrev:
Markus skrev: Kanskje arrangørene skrev kontinuerlig deriverbar med vilje som en "del" av oppgaven, selv om det ikke er nødvendig?


Det kan hende de gjorde det bare for å forvirre. Det vi har vist er dog et noe sterkere resultat enn det oppgaven spør om, siden mengden av kontinuerlig deriverbare funksjoner er en delmengde av mengden av deriverbare funksjoner (Vi benytter jo aldri kontinuitet av den deriverte i beviset).


Betingelsen $f' = f\circ f$ impliserer at $f$ uansett er kontinuerlig deriverbar, ettersom komposisjonen av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig. Riktignok er jeg enig i at det er litt merkelig at det eksplisitt er tatt med i oppgaveformuleringen.
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 751
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: IMC 2002

Innlegg Gustav » 21/11-2018 18:34

DennisChristensen skrev:Betingelsen $f' = f\circ f$ impliserer at $f$ uansett er kontinuerlig deriverbar, ettersom komposisjonen av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig.


Godt poeng!
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4269
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: IMC 2002

Innlegg Gustav » 21/11-2018 20:14

Oppfølger:

Finn alle deriverbare funksjoner $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ slik at $f(b)-f(a)=(b-a)f'(\sqrt{ab})\quad \forall a,b>0$.

Hint:
[+] Skjult tekst
Derivér ligningen og konstruér en diff.ligning
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4269
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: IMC 2002

Innlegg zzzivert » 07/12-2018 09:52

La $g(x)=f(x)-f^{\prime}(1)x$. Da er $g$ også en løsning siden
$\frac{g(a)-g(b)}{a-b}=\frac{f(a)-f^{\prime}(1)a-f(b)+f^{\prime}(1)b}{a-b}=f^{\prime}(\sqrt{ab})-f^{\prime}(1)=g^{\prime}(\sqrt{ab})$.
Siden $g^{\prime}(1)=0$, får vi
$0=g^{\prime}(1)=\frac{g(x)-g(\frac{1}{x})}{x-\frac{1}{x}} \ \Rightarrow \ g(x)=g(\frac{1}{x})$.
La $g^{\prime}(\sqrt{2})=k$, da har vi
$(2x-\frac{1}{x})k=g(2x)-g(\frac{1}{x})=g(2x)-g(x)=(2x-x)g^{\prime}(\sqrt{2}x)=xg^{\prime}(\sqrt{2}x)$
$g^{\prime}(\sqrt{2}x)=(2-\frac{1}{x^2})k$.
Integrerer vi begge sider får vi
$\frac{1}{\sqrt{2}}g(\sqrt{2}x)=(2x+\frac{1}{x})k+C$.
Ganger vi med $\sqrt{2}$ og substituerer $x$ med $\frac{1}{\sqrt{2}}x$, får vi
$g(x)=2k(x+\frac{1}{x})+C$.
Derfor får vi at $f(x)=mx+n+\frac{k}{x}, \ \forall m,n,k \in \mathbb{R}$.

Ser gjerne hvordan andre løste oppgaven!
zzzivert offline
Noether
Noether
Innlegg: 44
Registrert: 27/10-2014 09:26

Re: IMC 2002

Innlegg Markus » 22/12-2018 17:20

zzzivert skrev:Ser gjerne hvordan andre løste oppgaven!

Elegant løsning - jeg liker den mye bedre enn den offisielle! Her er den offisielle løsningen hvis du er interessert: http://imc-math.ddns.net/?show=prob&no=4&sol=1
Den substitusjonen som blir gjort i den offisielle er noe jeg aldri så for meg. Noen som ser motivasjonen bak den, annet enn at den "funker"?
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 750
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 7 gjester