Side 1 av 1

Medium Algebra

Lagt inn: 25/09-2018 02:06
av Gustav
La $f(x)=x^2+x$. Vis at ligningen $4f(a)=f(b)$ ikke har noen løsninger i positive heltall $a,b$.

Re: Medium Algebra

Lagt inn: 25/09-2018 11:35
av DennisChristensen
Gustav skrev:La $f(x)=x^2+x$. Vis at ligningen $4f(a)=f(b)$ ikke har noen løsninger i positive heltall $a,b$.
Anta at $4f(a)=f(b)$, der $a,b \in \mathbb{Z}_{>0}$. Vi fullfører kvadratene og faktoriserer:
\begin{align*}
4(a^2 + a) & = b^2 + b \\
(2a+ 1)^2 - 1 & = (b+\frac12)^2 - \frac14 \\
(2a+1)^2 - (b+\frac12)^2 & = \frac34 \\
\left(2a + 1 + b + \frac12\right)\left(2a + 1 - b - \frac12\right) & = \frac34 \\
\left(4a + 2b + 3\right)\left(4a - 2b + 1\right) & = 3, \\
\end{align*}
hvilket er en selvmotsigelse, ettersom $4a + 2b + 3 > 3$ og $4a - 2b + 1 \in \mathbb{Z}$.

Re: Medium Algebra

Lagt inn: 25/09-2018 14:54
av Gustav
Fin løsning :D