matematikk.net

Vis at [tex]\int_{-1}^{1}x^{2n-1}\sqrt{1-x^2} \ dx =0 \ \forall \ n \in \mathbb{Z} \geq 1[/tex]

Sorry hvis mengdenotasjonen er feil

Integranden er en odde funksjon: hvis [tex]f(x)=x^{2n-1}\sqrt{1-x^2}[/tex], så er [tex]f(-x)=-f(x),\: \forall n\in \mathbb{Z}^+[/tex].
Derfor er [tex]\int_{-1}^0 f\text{d}x=-\int_0^1 f\text{d}x[/tex], slik at [tex]\int_{-1}^0 f\text{d}x+\int_0^1 f\text{d}x=\int_{-1}^1 f\text{d}x=0[/tex].

alund skrev:Integranden er en odde funksjon: hvis [tex]f(x)=x^{2n-1}\sqrt{1-x^2}[/tex], så er [tex]f(-x)=-f(x),\: \forall n\in \mathbb{Z}^+[/tex].
Derfor er [tex]\int_{-1}^0 f\text{d}x=-\int_0^1 f\text{d}x[/tex], slik at [tex]\int_{-1}^0 f\text{d}x+\int_0^1 f\text{d}x=\int_{-1}^1 f\text{d}x=0[/tex].

Det var en metode jeg ikke hadde tenkt på, ser riktig ut med mindre jeg går glipp av noe! Bra