Abelfinalen 2018
Lagt inn: 06/03-2018 16:12
Hva synes dere om årets oppgaver?
1) Når $n$ er et oddetall skriver vi $n!!=n\cdot (n-2)\dotsb 3\cdot 1$. Hvor mange forskjellige restklasser modulo $1000$ får en fra $n=1,3,5,\dotsc$?
2) Omsenteret i en trekant $ABC$ kalles $O$. Punktene $A',B'$ og $C'$ er speilbildene av $O$ i henholdsvis $BC,CA$ og $AB$. Vis at de tre linjene møtest i et felles punkt.
3a) Finn alle polynomer $P$ som er slik at $P(x)+3P(x+2)=3P(x+1)+P(x+3)$ for alle reelle tall $x$.
3b) Finn alle polynomer $P$ som er slik at
\[ \sum_{n=0}^{1009}\binom{2018}{2n}P(x+2n)=\sum_{n=0}^{1008}\binom{2018}{2n+1}P(x+2n+1) \]
for alle reelle tall $x$.
4a) En følge $a_1,a_2,\dotsc,a_k$ av heltall kalles gyldig dersom det for $j=1,2,\dotsc,k-1$ gjelder at
4b) Finn minste $K$ slik at det for hver $n\in \{ 1,2,3,\dotsc,2018 \}$ finnes en gyldig følge med $a_1=n,a_k=1$ og $k\leq K$.
1) Når $n$ er et oddetall skriver vi $n!!=n\cdot (n-2)\dotsb 3\cdot 1$. Hvor mange forskjellige restklasser modulo $1000$ får en fra $n=1,3,5,\dotsc$?
2) Omsenteret i en trekant $ABC$ kalles $O$. Punktene $A',B'$ og $C'$ er speilbildene av $O$ i henholdsvis $BC,CA$ og $AB$. Vis at de tre linjene møtest i et felles punkt.
3a) Finn alle polynomer $P$ som er slik at $P(x)+3P(x+2)=3P(x+1)+P(x+3)$ for alle reelle tall $x$.
3b) Finn alle polynomer $P$ som er slik at
\[ \sum_{n=0}^{1009}\binom{2018}{2n}P(x+2n)=\sum_{n=0}^{1008}\binom{2018}{2n+1}P(x+2n+1) \]
for alle reelle tall $x$.
4a) En følge $a_1,a_2,\dotsc,a_k$ av heltall kalles gyldig dersom det for $j=1,2,\dotsc,k-1$ gjelder at
- dersom $a_j$ er et partall, er $a_{j+1}=a_j/2$, men
- dersom $a_j$ er et oddetall, er $\lvert a_{j+1}-a_j\rvert$=1.
4b) Finn minste $K$ slik at det for hver $n\in \{ 1,2,3,\dotsc,2018 \}$ finnes en gyldig følge med $a_1=n,a_k=1$ og $k\leq K$.