matematikk.net

Finn antallet ordnede par av positive heltall $(x,y)$ som tilfredsstiller $x\leq 2y\leq 60$ og $y\leq 2x\leq 60$.

Hint: Picks teorem https://en.wikipedia.org/wiki/Pick%27s_theorem

Gustav skrev:Hint: Picks teorem https://en.wikipedia.org/wiki/Pick%27s_theorem

Av Pick's teorem danner ulikhetene [tex]x\leq2y, x\leq 30, y\leq 2x, y\leq 30[/tex] en firkant i planet med arealet [tex]450[/tex]

[tex]a=i+\frac{b}{2}-1[/tex]

Da har vi at [tex]450=i+\frac{b}{2}-1[/tex]

Skulle gjerne ha skribla litt og dratt det med, det er enklere å se det visuelt men b kan en finne ved telling når en vet at funksjonsavgrensingen har 7 deltepunkt med kvadratet ikke inkludert toppunkter og at når [tex]y=2x \Longrightarrow x \ har \ 14\ verdier[/tex]

Da får vi [tex]\frac{b}{2}=\frac{4\cdot 14 + 4}{2}=\frac{60}{2}=30[/tex]

Da har vi at [tex]450=i+30-1 \Leftrightarrow i = 421[/tex] så [tex]421+60=481[/tex]

Her spør den for øvrig om positive heltall så er ikke sikker på om [tex](0,0)[/tex] regnes med i det? Da er det jo naturligvis [tex]481-1=480[/tex]

Edit: kan visualiseres i geogebra, her er det uthevedet området det viktige.

[+] Skjult tekst

(0,0) er ikke inkludert, og 480 er rett svar! Fin løsning!