matematikk.net

Finn et primtall $p$ slik at $16p+1$ er et kubikktall.

Har ingen elegant løsning, men [tex]16\cdot 307+1=17^3[/tex] ved prøving og feiling

Riktig svar! Utledning ville vært enda bedre

Gustav skrev:Finn et primtall $p$ slik at $16p+1$ er et kubikktall.

Vi vet at et kubikktall [tex]k^3[/tex] skal være gitt ved

[tex]16p+1 = k^3[/tex]

dvs.

[tex]16p=k^3-1=(k-1)(k^2+k+1)[/tex]

siden [tex]16p[/tex] er partall må [tex](k-1)[/tex] også være et partall og dermed er [tex]k^2+k+1[/tex] odd. Av denne grunn må for øvrig [tex]k-1[/tex] være delelig på [tex]16[/tex]. Hvis [tex]k-1 > 16[/tex] følger det at tallet [tex]\frac{k-1(k^2+k+1)}{16}[/tex] ikke vil være prim. Dermed er [tex]k=17[/tex] da får vi [tex]p=\frac{(17-1)(17^2+17+1)}{16}=307[/tex]

Fin løsning!