matematikk.net

Vis at [tex]\sum_{k=1}^{n}(-1)^k \binom{n-1}{k-1}(2n-k-1)2^k=0[/tex]

Kay skrev:Vis at [tex]\sum_{k=1}^{n}(-1)^k \binom{n-1}{k-1}(2n-k-1)2^k=0[/tex]

Binomialteoremet sier at $(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{k}$

Derivasjon mhp x gir at $n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}kx^{k-1}$

Variabelskiftet $k\to k-1$ gir at $n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1}(k-1)x^{k-2}$.

Variabelskiftet $n\to n-1$ gir at $(n-1)(1+x)^{n-2}=\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1}(k-1)x^{k-2}$

Gang med $-x^2$ så fås $(1-n)x^2(1+x)^{n-2}=\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1}(-k+1)x^{k}$. (Ligning 1)

Binomialteoremet gir med samme variabelskifter $(1+x)^{n-1}=\sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1}x^{k-1}$.

Gang med $(2n-2)x$ så fås $(2n-2)x(1+x)^{n-1}=\sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1}(2n-2)x^{k}$. (Ligning 2)

Legger vi sammen ligning 1 og 2 fås

$(1-n)x^2(1+x)^{n-2}+ (2n-2)x(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1}(2n-k-1)x^k$.

Innsetting av x=-2 gir at venstresida blir

$(4-4n)((-1)^{n-2}+(-1)^{n-1})=(4-4n)((-1)^{n-2}-(-1)^{n-2})=0$.

Gustav skrev:

Kay skrev:Vis at [tex]\sum_{k=1}^{n}(-1)^k \binom{n-1}{k-1}(2n-k-1)2^k=0[/tex]

Binomialteoremet sier at $(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{k}$

Derivasjon mhp x gir at $n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}kx^{k-1}$

Variabelskiftet $k\to k-1$ gir at $n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1}(k-1)x^{k-2}$.

Variabelskiftet $n\to n-1$ gir at $(n-1)(1+x)^{n-2}=\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1}(k-1)x^{k-2}$

Gang med $-x^2$ så fås $(1-n)x^2(1+x)^{n-2}=\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1}(-k+1)x^{k}$. (Ligning 1)

Binomialteoremet gir med samme variabelskifter $(1+x)^{n-1}=\sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1}x^{k-1}$.

Gang med $(2n-2)x$ så fås $(2n-2)x(1+x)^{n-1}=\sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1}(2n-2)x^{k}$. (Ligning 2)

Legger vi sammen ligning 1 og 2 fås

$(1-n)x^2(1+x)^{n-2}+ (2n-2)x(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1}(2n-k-1)x^k$.

Innsetting av x=-2 gir at venstresida blir

$(4-4n)((-1)^{n-2}+(-1)^{n-1})=(4-4n)((-1)^{n-2}-(-1)^{n-2})=0$.

Selvfølgelig riktig og for øvrig pent løst