Julekalender #20

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Vis at hvis $9$ deler $a^2+ab+b^2$ så vil $3$ dele både $a$ og $b$.
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Skriver om $a^2+ab+b^2 \enspace \to \enspace a^2 + ab + b^2 - 3ab + 3ab \enspace \to \enspace (a-b)^2 + 3ab$

Vi er gitt at $9 \mid (a-b)^2+3ab$ og siden $3$ er en faktor i $9$ må også $3 \mid (a-b)^2+3ab$. Siden $3 \mid 3ab$ må $3 \mid (a-b)^2$.

Hvis $3 \mid (a-b)^2 \Longrightarrow 3 \mid a-b \Longrightarrow 9 \mid (a-b)^2$

Siden $9 \mid (a-b)^2 + 3ab$ og $9 \mid (a-b)^2$ må $9 \mid 3ab \Longrightarrow 3 \mid ab$, så da må $a$ eller $b$ være multippel av $3$, men siden $3 \mid a-b$ må den andre variabelen automatisk være en multippel av $3$, hvis $3 \mid a-b$ skal stemme. Altså vil $3 \mid a,b$, og det var dette vi ønsket å vise.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Markus skrev:Skriver om $a^2+ab+b^2 \enspace \to \enspace a^2 + ab + b^2 - 3ab + 3ab \enspace \to \enspace (a-b)^2 + 3ab$

Vi er gitt at $9 \mid (a-b)^2+3ab$ og siden $3$ er en faktor i $9$ må også $3 \mid (a-b)^2+3ab$. Siden $3 \mid 3ab$ må $3 \mid (a-b)^2$.

Hvis $3 \mid (a-b)^2 \Longrightarrow 3 \mid a-b \Longrightarrow 9 \mid (a-b)^2$

Siden $9 \mid (a-b)^2 + 3ab$ og $9 \mid (a-b)^2$ må $9 \mid 3ab \Longrightarrow 3 \mid ab$, så da må $a$ eller $b$ være multippel av $3$, men siden $3 \mid a-b$ må den andre variabelen automatisk være en multippel av $3$, hvis $3 \mid a-b$ skal stemme. Altså vil $3 \mid a,b$, og det var dette vi ønsket å vise.
Veldig fin løsning!
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

En litt annerledes løsning: Hvis ikke $3\mid a,b$, så er eneste mulighet $3\nmid a,b$. Nå vil $3$ dele $a^3+b^3=(a+b)(a^2+ab+b^2)$, og følgelig også $a+b$ som følge av Fermats lille teorem. Da har vi $3\nmid a,b$ og $3\mid a+b$, så det følger av LTE at
\[ v_3(a^3+b^3)=v_3(3)+v_3(a+b)\implies v_3(a^2+ab+b^2)=v_3\left(\frac{a^3+b^3}{a+b}\right)=1, \]
en motsigelse, siden $9\mid a^2+ab+b^2$.

EDIT: Alternativt kan man bare sette opp en tabell og sjekke alle muligheter for $a$ og $b$ modulo $9$, og få at $x,y\in \{0,3,6\}$ modulo $9$. (https://www.wolframalpha.com/input/?i=x ... %3D0+mod+9)
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Bra!

PS: LTE= lifting the exponent, hvis noen lurer. https://brilliant.org/wiki/lifting-the-exponent/
Svar