Julekalender #18

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

La $n$ være et positivt heltall. Vis at et tall med $3^n$ like siffer (alle sifrene er like) alltid er delelig med $3^n$.

Hint:
[+] Skjult tekst
Induksjon
OYV

Definerer utsagnet

p( n ):[/b] Et tall med 3[tex]^n[/tex] like siffer er delelig med 3^n

La s være et siffer som er element i mengden { 1 , 2 , 3 , ............., 8 , 9 }

Basistilfellet n = 1 : 3[tex]^n[/tex] = 3[tex]^1[/tex] = 3 gir et tresiffra tall og dette kan skrives

s [tex]\cdot[/tex]( 10[tex]^0[/tex] + 10[tex]^1[/tex] + 10[tex]^2[/tex]) = 111[tex]\cdot[/tex]s

er åpenbart delelig med tre ettersom tverrsummen av 111 er lik 3

Utsagnet p( n ) er såeldes sant for n = 1.

2) Antar nå at p( n ) er sann for n = k .

Det betyr at s [tex]\cdot[/tex]( 10[tex]^{0}[/tex] + 10[tex]^1[/tex] + ........ + 10[tex]^{(3^k - 1)}[/tex] )
= s[tex]_{3^k}[/tex]( geom. rekke med kvotient lik 10 og 3[tex]^k[/tex] ledd ) = [tex]\frac{10^(3^k ) - 1}{10-1}[/tex]

= 3[tex]^k[/tex][tex]\cdot[/tex] p , der p er et element i N

Løyser ut 10[tex]^{3^k}[/tex] og får

( * ) 10[tex]^{3^k}[/tex] = 9 * p * 3[tex]^k[/tex] + 1

n = k + 1 [tex]\rightarrow[/tex] s[tex]_{3^{k+1}[/tex] = (geom. rekke med 10[tex]^{3^{k+1}[/tex] ledd ) = [tex]\frac{10^{3^{k+1}}-1}{10- 1|}[/tex] = [tex]\frac{(10^{3^k})^3 - 1}{9}[/tex]

Setter inn for 10[tex]^{3^k}[/tex] og får

s[tex]_{3^{k+1}}[/tex] = [tex]\frac{(9p\cdot 3^k + 1)^3 - 1}{9}[/tex] = (Newton's binomialformel ) = (27p[tex]^3[/tex]+ 9p[tex]^2[/tex] + p ) [tex]\cdot[/tex]3[tex]^{k+1}[/tex]

Konklusjon: Har vist at p ( n ) er sann for n = 1 [tex]\wedge[/tex] p( k ) [tex]\Rightarrow[/tex] p ( k + 1 )
Dermed kan vi slutte at p ( n ) er sann for alle n [tex]\geq[/tex] 1
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Flott!
Svar