Julekalender #3
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Setter vi [tex]x=1[/tex] får vi [tex]P(1)=0[/tex], $x=-2$ gir $P(-1)=0$, og $x=-1$ gir $-2P(0) = P(-1) = 0$ slik at $P(0)=0$.
Nå kan vi skrive $P(x)=(x-1)x(x+1)Q(x)$ for et polynom $Q$ (ulik 0). Dette gir (VS) $(x-1)P(x+1)=(x-1)x(x+1)(x+2)Q(x+1)$ og (HS) $(x+2)P(x)=(x+2)(x-1)x(x+1)Q(x)$ slik at $Q(x+1)=Q(x)$ for alle $x$. Dermed er $Q$ konstant, si $Q(x)=c$, og $P(x)=c\cdot(x-1)x(x+1)$.
Setter vi $x=2$ i den opprinnelige ligninga får vi $P(3)=4P(2)$, og med $P(3)=P(2)^2$ må $P(2)=4$ (vi kan ikke ha $P(2)=0$). Dette gir $P(2)=1\cdot2\cdot3\cdot c = 4$ slik at $c=\frac23$. Da blir $P\left(\frac72\right) = \frac23\cdot\frac52\cdot\frac72\cdot\frac92 = \frac {105}4$, og $m+n=109$.
Nå kan vi skrive $P(x)=(x-1)x(x+1)Q(x)$ for et polynom $Q$ (ulik 0). Dette gir (VS) $(x-1)P(x+1)=(x-1)x(x+1)(x+2)Q(x+1)$ og (HS) $(x+2)P(x)=(x+2)(x-1)x(x+1)Q(x)$ slik at $Q(x+1)=Q(x)$ for alle $x$. Dermed er $Q$ konstant, si $Q(x)=c$, og $P(x)=c\cdot(x-1)x(x+1)$.
Setter vi $x=2$ i den opprinnelige ligninga får vi $P(3)=4P(2)$, og med $P(3)=P(2)^2$ må $P(2)=4$ (vi kan ikke ha $P(2)=0$). Dette gir $P(2)=1\cdot2\cdot3\cdot c = 4$ slik at $c=\frac23$. Da blir $P\left(\frac72\right) = \frac23\cdot\frac52\cdot\frac72\cdot\frac92 = \frac {105}4$, og $m+n=109$.