Her er den vist for spesialtilfellet at nederste punkt på $l$ er $(1,0)$.
- buelengde.png (37.09 kiB) Vist 2098 ganger
Buelengden er lik: $l = r\alpha = \alpha$.
Område A = Rektangel(AECF) + Areal(CED).
Område B = Areal(CED).
Vil vise at $l$ = Område A + Område B = Rektangel(AECF) + 2*Areal(CED).
Ser at: Rekangel(AECF) = $xy$.
Areal(CED) = Sirkelsektor($\alpha$) - Trekant(AEC).
Sirkelsektor($\alpha$) = $\pi r^2 \frac \alpha{2\pi} = \frac 12 r^2 \alpha = \frac 12 \alpha$.
Trekant(AEC) = $\frac 12 xy$.
Altså er Areal(CED) = $\frac 12 \alpha - \frac 12 xy$
Kombinerer alt:
Område A + Område B = $xy + 2\cdot \left( \frac 12 \alpha - \frac 12 xy \right) = xy + \alpha - xy = \alpha = l$, som skulle vises.
