Kay skrev:Anta at [tex]\frac{f(x)}{x}[/tex] er integrerbar på ethvert interval [tex][a,b][/tex], [tex]0<a<b[/tex] og at [tex]\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=A[/tex] og at [tex]\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=B[/tex]. Vis at for alle [tex]\alpha, \beta >0[/tex] så er [tex]\int_0^\infty \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx = (A-B)log\frac{\beta}{\alpha}[/tex]
Vi betrakter integralet $\int_a^b \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}\,dx$ og lar $a\to 0, b\to\infty$.
$\int_a^b \frac{f(\alpha x)}{x}\,dx=\alpha \int_a^b \frac{f(\alpha x)}{\alpha x}\,dx$.
Sett $y=\alpha x$, så $dy=\alpha dx$. Det gir
$\alpha \int_a^b \frac{f(\alpha x)}{\alpha x}\,dx= \int_{\alpha a}^{\alpha b}\frac{f(y)}{y}dy$ og på samme vis fås
$\beta \int_a^b \frac{f(\beta x)}{\beta x}\,dx= \int_{\beta a}^{\beta b}\frac{f(y)}{y}dy$
Dersom $\alpha=\beta$ er ligningen trivielt oppfylt. WLOG anta derfor $\alpha < \beta$. For ekstreme nok verdier av $a,b$ vil da $\alpha a < \beta a < \alpha b < \beta b$. Det gjør at vi får et overlappende område mellom $x=\beta a$ og $x=\alpha b$ som forsvinner fra differansen mellom integralene, så det opprinnelige integralet forenkles til
$\int_{\alpha a}^{\beta a}\frac{f(x)}{x}dx - \int_{\alpha b}^{\beta b}\frac{f(x)}{x}dx$
La $x=ay$ i den første og $x=by$ i den andre, så vi får
$\int_{\alpha}^{\beta}\frac{f(ay)}{y}\, dy-\int_{\alpha}^{\beta}\frac{f(by)}{y}\,dy$.
Lar vi $a\to 0$ og $b\to\infty$ får vi til slutt
$\int_{\alpha}^\beta \frac{A-B}{y}\,dy=(A-B)(\log \beta-\log \alpha)$
