vgs 2
Lagt inn: 10/08-2017 20:32
finn ett eksakt uttrykk, uten Wolfram etc, for:
[tex]\large \frac{1}{\sin(10^o)}\,-\,\frac{\sqrt{3}}{\cos(10^o)}[/tex]
[tex]\large \frac{1}{\sin(10^o)}\,-\,\frac{\sqrt{3}}{\cos(10^o)}[/tex]
La
$(1) \;\; x = \frac{1}{\sin 10^{\circ}} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}}$
som gir
$(2) \;\; x = \frac{\cos 10^{\circ} - \sqrt{3} \sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}$.
Vi trenger følgende formler for å beregne $x$:
$(3) \;\; \sin 2u = 2 \sin u \cdot \cos u$,
$(4) \;\; \cos(u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v$,
$(5) \;\; \cos(90^{\circ} - u) = \sin u$.
Ved å sette $u = 10^{\circ}$ i formel (3), får vi at $x$ kan uttrykkes som
$x = 4\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos 10^{\circ} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 10^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}$
$= 4 \: \frac{\cos 60^{\circ} \cdot \cos 10^{\circ} - \sin 60^{\circ} \cdot \sin 10^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}$
$= 4 \: \frac{\cos(60^{\circ} + 10^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$ (setter $(u,v) = (60^{\circ},10^{\circ})$ i formel (4))
$= 4 \: \frac{\cos(90^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$
$= 4 \: \frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}$ (setter $u = 20^{\circ}$ i formel (5))
Med andre ord er
$\frac{1}{\sin 10^{\circ}} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}} = 4$.