matematikk.net

a) Bevis at for alle funksjoner $f(x)$ integrerbar for $x \in [0,\pi]$ så holder

$ \hspace{1cm}
\int_0^\pi x f(\sin x) \,\mathrm{d}x
= \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} f(\sin x) \,\mathrm{d}x
$

b) Vis at

$ \hspace{1cm}
\int_0^{\pi} (1 + 2x) \frac{\sin^3(x)}{1 + \cos^2(x)}\,\mathrm{d}x = (\pi + m)(\pi + n)
$

og bestem dermed verdien til konstantene $m,n \in \mathbb{Z}$.

Nebuchadnezzar skrev:a) Bevis at for alle funksjoner $f(x)$ integrerbar for $x \in [0,\pi]$ så holder

$ \hspace{1cm}
\int_0^\pi x f(\sin x) \,\mathrm{d}x
= \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} f(\sin x) \,\mathrm{d}x
$

b) Vis at

$ \hspace{1cm}
\int_0^{\pi} (1 + 2x) \frac{\sin^3(x)}{1 + \cos^2(x)}\,\mathrm{d}x = (\pi + m)(\pi + n)
$

og bestem dermed verdien til konstantene $m,n \in \mathbb{Z}$.

a)
Generelt så gjelder $\int_0^af(x)\ dx = \int_0^af(a-x) \ dx$, så
\[ \int_0^\pi xf(\sin x)\ dx =\int_0^\pi (\pi-x)f(\sin(\pi-x))\ dx=\int_0^\pi (\pi-x)f(\sin x)\ dx. \]
Nå får vi resultatet ved å legge sammen det første og siste integralet i linja over og dele på $2$.

b)
Vi deler opp integralet i to deler:
\[ I=\int_0^{\pi} (1 + 2x) \frac{\sin^3(x)}{1 + \cos^2(x)}\,dx=\int_0^\pi\frac{\sin^3 x}{1+\cos^2x}\, dx+\int_0^\pi 2x\frac{\sin^3 x}{1+\cos^2x}\, dx=I_1+I_2. \]
Ifølge resultatet fra a) er
\[ I_2=\pi\int_0^\pi \frac{\sin^3}{1+\cos^2x}\, dx, \]
som betyr at $I_2=\pi I_1$, og mindre arbeid for meg. For å regne ut $I_1$ bruker vi substitusjonen $u=\cos x$:
\[ I_1=\int_1^{-1}\frac{(1-\cos^2x)\sin x}{1+\cos^2x}\, \frac{du}{-\sin x}=\int_{-1}^1\frac{1-u^2}{1+u^2}\, du=\int_{-1}^1 -1+\frac{2}{1+u^2}\, du. \]
Vi gjenkjenner brøken som et arctanintegral, og er straks ferdige:
\[ I_1=[-u+2\arctan u]_{-1}^1=\pi-2. \]
Tilslutt er $I=(\pi+1)I_1=(\pi+1)(\pi-2)$, og $\{ m,n \}=\{ 1,-2 \}$.

Nebuchadnezzar skrev:a) Bevis at for alle funksjoner $f(x)$ integrerbar for $x \in [0,\pi]$ så holder
$ \hspace{1cm}
\int_0^\pi x f(\sin x) \,\mathrm{d}x
= \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} f(\sin x) \,\mathrm{d}x
$

ser jo at Stensrud har løst begge, men slenger inn bidrag på denne; litt mer omstendelig:

bruker at:

[tex]\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(a+b-x)\,dx[/tex]
DVs
[tex]I=\int_0^{\pi}x f(\sin(x))\,dx=\int_0^{\pi}(\pi-x) f(\sin(\pi-x))\,dx\\[/tex]

[tex]I=\int_0^{\pi}(\pi-x) f(\sin(x))\,dx=\pi\int_0^{\pi} f(\sin(x))\,dx-\int_0^{\pi}x f(\sin(x))\,dx\\[/tex]

[tex]2I=\pi\int_0^{\pi} f(\sin(x))\,dx\\[/tex]

[tex]I=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} f(\sin(x))\,dx[/tex]

altså:

[tex]I=\int_0^{\pi}x f(\sin(x))\,dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} f(\sin(x))\,dx[/tex]

Fin løsning av begge ja. Stensrud selv om det er åpoenbart må jo du skrive om $\cos^2(x)$ til $1 - \sin^2(x)$ for å bruke identiteten, bare for å være ekstra pirkete