Tallteori

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Tallet $N$ har nøyaktig $6$ divisorer, og summen av divisorene er lik $3500$. Finn alle mulige verdier av $N$.
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

1996?
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Det nærmeste eg kan komme er med tallet 2421, som eg tror har 6 divisorer med en samlet sum på 3510.
Dolandyret
Lagrange
Lagrange
Innlegg: 1264
Registrert: 04/10-2015 22:21

1996 er vel det eneste.
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
Gjest

Hvordan er det dere har kommet frem til disse tallene?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

1996 er riktig, ja!
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Vet ikke helt, men vi har at:

[tex]N=p\cdot q^2[/tex]
der p og q er primtall
og
antall divisore:
[tex]d(N) = (a_1+1)(a_2+1)=6[/tex]

og summen av divisorer:
[tex]\sigma(N)=\sigma(p\cdot q^2)=\left(\frac{p^2-1}{p-1}\right) \left(\frac{q^3-1}{q-1}\right)=3500[/tex]
som passer for:
[tex]p=499[/tex]
og
[tex]q=2[/tex]
og
[tex]N=1996[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Ser bra ut dette. Du kan jo faktorisere og forkorte litt for å finne alle mulige p,q her.

En annen mulighet er at tallet er på formen $N=p^5$ for primtall p. Det er lett å vise at summen av divisorene ikke kan være lik 3500 i dette tilfellet.
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Tillater meg å skrive hvordan vi finner antall divisorer i et tall, og håper dette er rett.

Vi kan f.eks finne ut hvor mange divisorer tallet [tex]24[/tex] har ved å løse tallet opp i prim-faktorer slik:
[tex]24 = 2^{3}*3[/tex]. Viss man legger [tex]1[/tex] til eksponenten for hvert primtall, og ganger resultatet, får man antall divisorer. For tallet [tex]24[/tex] blir det slik: [tex](3+1)*(1+1)=8[/tex]. Altså [tex]24[/tex] har [tex]8[/tex] divisorer.
Med tallet [tex]1996[/tex] blir det slik: [tex]1996=2^{2}*499, og (2+1)*(1+1)=6[/tex]. Altså tallet [tex]1996[/tex] har [tex]6[/tex] divisorer.

På denne måten fant eg tallet 2421, men det var ikke det rette.
growth mindset
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 7
Registrert: 23/10-2018 15:12

Interessant. Men hvorfor legger man til 1 på eksponenten? Jeg må begrunne hvordan jeg finner antall divisorer;(
Svar