matematikk.net

La $a$ og $b$ være reelle tall slik at $a+b=2$ og $ab=-1$. Bestem $a^{10}+b^{10}$

Er planen å legge ut én oppgave hver dag til og med juleaften? Isåfall kaller jeg deg spenstig - bra initiativ

Hehe, andre kan gjerne legge ut kalenderoppgaver også, men ja, planen var å fullføre frem til julaften Tenkte å legge ut litt forskjellig vanskelighetsgrad så flest mulig kan klare å løse oppgavene. Hittil har det vært mest oppgaver fra de finske kvalifiseringsrundene.

[tex]\begin{bmatrix} a+b=2 \\ ab=-1 & \end{bmatrix}[/tex]

[tex]a=2-b[/tex]

[tex](2-b)b=-1\Leftrightarrow -b^2+2b+1=0\Leftrightarrow b^2-2b-1=0\Leftrightarrow b_1=1-\sqrt{2} \wedge b_2= 1+\sqrt{2}[/tex]

[tex]a_1+1-\sqrt{2}=2\Leftrightarrow a_1=1+\sqrt{2}[/tex]

[tex]a_2+1+\sqrt{2}=2\Leftrightarrow a_2=1-\sqrt{2}[/tex]


Etter dette punktet ble det bare kludder... Vi kan se at begge svarene går om en annen så [tex]a_1^{10}+b_1^{10}=a_2^{10}+b_2^{10}[/tex]

Ser fort at vi kan bruke binomial-teoremet

[tex](a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{(n-k)}b^k \Leftrightarrow \sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}\cdot1^{10-k}(\sqrt{2})^k[/tex]

og for [tex](a-b)^n[/tex] tukler vi bare litt med dette og sier at [tex](a-b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}(-b)^k\Leftrightarrow \sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}1^{10-k}(-\sqrt{2})^k[/tex]



Her måtte jeg ta fram kladdark og bruke en heftig mengde kalkulator, reglene ble vel derfor brutt, hehe.. (så hadde satt pris på om en av dere der oppe kunne ha vist en elegant måte å få til dette på), kan forsåvidt legge ut kladde-ark hvis du ønsker det. Får endelig ut en verdi [tex]6276[/tex] og om det er rett vet ikke jeg. Nesten så jeg gleder meg til å se om det er en skikkelig elegant måte å løse det på

Her er ikke jeg noen konkurranse-matte person, men ettersom at dette er kvalikken til ett eller annen konkurranse i Finland, hvilken type konkurranse vil være tilsvarende i Norge? (om vi har en selvfølgelig), kan ikke huske på at Abelkonkurransen part 1. Liknet iallefall.

Jeg løste den slik:

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=2^2+2=6$

$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2=6^2-2=34$

$a^6+b^6=(a^2+b^2)(a^4+b^4)-a^2b^4-b^2a^4=(a^2+b^2)(a^4+b^4)-a^2-b^2=(a^2+b^2)(a^4+b^4-1)=6*33$

$a^{10}+b^{10}=(a^4+b^4)(a^6+b^6)-a^4b^6-b^4a^6=(a^4+b^4)(a^6+b^6)-a^2-b^2=34*6*33-6=6726$

Formatet på konkurransen i Finland ser litt annerledes ut enn abelkonkurransen, med færre oppgaver i første runde. 4 problem som skal løses på 100min. I tillegg ser det ut som de har ulike vanskelighetsgrader der elever kan velge hvilket nivå de vil løse.

Kay skrev:[tex]\begin{bmatrix} a+b=2 \\ ab=-1 & \end{bmatrix}[/tex]

[tex]a=2-b[/tex]

[tex](2-b)b=-1\Leftrightarrow -b^2+2b+1=0\Leftrightarrow b^2-2b-1=0\Leftrightarrow b_1=1-\sqrt{2} \wedge b_2= 1+\sqrt{2}[/tex]

[tex]a_1+1-\sqrt{2}=2\Leftrightarrow a_1=1+\sqrt{2}[/tex]

[tex]a_2+1+\sqrt{2}=2\Leftrightarrow a_2=1-\sqrt{2}[/tex]


Etter dette punktet ble det bare kludder... Vi kan se at begge svarene går om en annen så [tex]a_1^{10}+b_1^{10}=a_2^{10}+b_2^{10}[/tex]

Ser fort at vi kan bruke binomial-teoremet

[tex](a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{(n-k)}b^k \Leftrightarrow \sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}\cdot1^{10-k}(\sqrt{2})^k[/tex]

og for [tex](a-b)^n[/tex] tukler vi bare litt med dette og sier at [tex](a-b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}(-b)^k\Leftrightarrow \sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}1^{10-k}(-\sqrt{2})^k[/tex]



Her måtte jeg ta fram kladdark og bruke en heftig mengde kalkulator, reglene ble vel derfor brutt, hehe.. (så hadde satt pris på om en av dere der oppe kunne ha vist en elegant måte å få til dette på), kan forsåvidt legge ut kladde-ark hvis du ønsker det. Får endelig ut en verdi [tex]6276[/tex] og om det er rett vet ikke jeg. Nesten så jeg gleder meg til å se om det er en skikkelig elegant måte å løse det på

Her er ikke jeg noen konkurranse-matte person, men ettersom at dette er kvalikken til ett eller annen konkurranse i Finland, hvilken type konkurranse vil være tilsvarende i Norge? (om vi har en selvfølgelig), kan ikke huske på at Abelkonkurransen part 1. Liknet iallefall.

Gjorde det også slik, klarte meg uten kalkulator, men med endel mellomregninger, så kan vise det.

For (a+b)^10+(a-b)^10 vil vi bare få tilskudd når n er partall. Får da fra binomialformelen:

[tex](1+\sqrt2)^{10}+(1-\sqrt2)^{10}=2\cdot(1+2\cdot45+4\cdot210+8\cdot210+16\cdot45+32)[/tex]

Prøver å forenkle dette ved å sette 30 utenfor, og får:

[tex]2\cdot(3+30\cdot(3+28+56+24+1))=2\cdot(3+30\cdot(112)=2\cdot(3+3360)=6726[/tex]

Kanskje ikke den fineste løsningen, Plutarcos var nok hakket mer elegant.