matematikk.net

Anta at $x$ og $y$ er positive reelle tall slik at $x^3,y^3$ og $x+y$ er rasjonale. Vis at $x$ og $y$ er rasjonale.

plutarco skrev:Anta at $x$ og $y$ er positive reelle tall slik at $x^3,y^3$ og $x+y$ er rasjonale. Vis at $x$ og $y$ er rasjonale.

Vet at $\displaystyle x^3, y^3, x+y \in \mathbb{Q}$, så $\displaystyle x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) \in\mathbb{Q}$
$\displaystyle\therefore x^2 - xy + y^2 \in\mathbb{Q}$, siden $\displaystyle x + y \in\mathbb{Q}$.

Vi har derfor at $\frac{1}{3}\left[(x+y)^2 - (x^2 - xy + y^2)\right] = \frac{1}{3} \cdot 3xy = xy \in\mathbb{Q}$.
Og derfor: $\displaystyle x^2 + xy + y^2 = (x^2 - xy + y^2) + 2xy \in\mathbb{Q}$.

Til slutt har vi at $\displaystyle x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) \in\mathbb{Q}$
$\displaystyle\therefore x - y \in\mathbb{Q}$, siden $\displaystyle x^2 + xy + y^2 \in\mathbb{Q}$.
$\therefore x = \frac{1}{2}\left((x+y) + (x - y)\right) \in\mathbb{Q}$ og $\displaystyle y = \frac{1}{2}\left((x+y) - (x-y)\right) \in\mathbb{Q}$.

Finnes sikkert en enklere metode med litt mer sofistikert verktøy, men det var jo rimelig greit å bevise direkte.

Ser flott ut!