matematikk.net

Gitt liknings-systemet under:

[tex]xy=4[/tex]
og
[tex]x^3+y^3=144[/tex]

Finn [tex]\,x^2+y^2\,[/tex] uten kalkis.

Det eneste eg kan bidra med her er svarene og eg mener [tex]x^{2}[/tex] er 0,583592135001 og [tex]y^{2}[/tex] er 27,416407865 og summen blir 28.

LAMBRIDA skrev:Det eneste eg kan bidra med her er svarene og eg mener [tex]x^{2}[/tex] er 0,583592135001 og [tex]y^{2}[/tex] er 27,416407865 og summen blir 28.

ja,

[tex]x^2+y^2=28[/tex]
i følge Wolfram;

https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... 3%3D144%7D

men hvordan?

[tex]xy=4, x^3+y^3=144[/tex]

Finner et uttrykk for x uttrykt ved y

[tex]x=\frac{4}{y}[/tex]

Setter det inn i den andre likningen

Sitter i midten av ei R1 time nå, så uten å skrive et metrisk tonn med mellomregning inn i latex (kan evt. ta det senere om ønskelig) kom jeg fram til at x og y kan ha to forskjellige verdier.

[tex]x_1=3+\sqrt{5}, y_1=\frac{4}{3+\sqrt{5}}[/tex]

og

[tex]x_2=3-\sqrt{5}, y_2=\frac{4}{3-\sqrt{5}}[/tex]


Kvadrerer du

[tex]x_1^2+y_1^2 = (3+\sqrt{5})^2+(\frac{4}{3+\sqrt{5}})^2=28[/tex]


Samme smørja med de negative verdiene. De vil også bli 28. Stemmer dette?

Stemmer, men mangler en del mellomregninger;

Kan løses noe sånt:

[tex]xy=4[/tex]
[tex]x^3+y^3=(x+y)^3 -3xy(x+y)=144[/tex]
setter
[tex]z = x+y[/tex]
DVs
[tex]z^3-12z-144=0[/tex]
som gir for reelle z,
[tex]z = 6 = x+y[/tex]
deretter:
[tex]x^2+y^2=(x+y)^2-2xy[/tex]
DVs
[tex]x^2+y^2=6^2-2\cdot 4=28[/tex]

Bruker at [tex](a-b)^2=(a+b)^2-4ab[/tex]

[tex](x^3-y^3)^2=(x^3+y^3)^2-4x^3y^3=144^2-4*(4)^3=20480[/tex]

Såleis er [tex](x^3-y^3)^2\Rightarrow (x^3-y^3)=\sqrt{20480}=64\sqrt{5}[/tex]

Følgelig er:
[tex]x^3=\frac{144+64 \sqrt{5}}{2}=72+32\sqrt{5}[/tex]

[tex]y^3=\frac{144-64\sqrt{5}}{2}=72-32\sqrt{5}[/tex]

Har ikke peiling hvordan man ka videre 3 rot i hodet men...

[tex]x^3=72+32\sqrt{5}\Rightarrow x=\sqrt[3]{72+32\sqrt{5}}=3+\sqrt{5}[/tex]
[tex]y^3=72-32\sqrt{5}\Rightarrow y=\sqrt[3]{y^3=72-32\sqrt{5}}=3-\sqrt{5}[/tex]

Dermed er [tex]x+y=6[/tex] og

[tex]x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=6^2-2*4=\boxed{28}[/tex]

Drezky skrev:Bruker at [tex](a-b)^2=(a+b)^2-4ab[/tex]
[tex](x^3-y^3)^2=(x^3+y^3)^2-4x^3y^3=144^2-4*(4)^3=20480[/tex]
Såleis er [tex](x^3-y^3)^2\Rightarrow (x^3-y^3)=\sqrt{20480}=64\sqrt{5}[/tex]
Følgelig er:
[tex]x^3=\frac{144+64 \sqrt{5}}{2}=72+32\sqrt{5}[/tex]
[tex]y^3=\frac{144-64\sqrt{5}}{2}=72-32\sqrt{5}[/tex]
Har ikke peiling hvordan man ka videre 3 rot i hodet men...
[tex]x^3=72+32\sqrt{5}\Rightarrow x=\sqrt[3]{72+32\sqrt{5}}=3+\sqrt{5}[/tex]
[tex]y^3=72-32\sqrt{5}\Rightarrow y=\sqrt[3]{y^3=72-32\sqrt{5}}=3-\sqrt{5}[/tex]
Dermed er [tex]x+y=6[/tex] og
[tex]x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=6^2-2*4=\boxed{28}[/tex]

bra arbeid :=)