matematikk.net

Siden det nettopp ble meldt interesse for geometri i en annen tråd, tenkte jeg det var passende å legge ut noen geometrinøtter . De er listet i stigende vanskelighetsgrad nedenfor; den første skal være relativt enkel, mens den siste skal være ganske vanskelig.

$\mathbf{Oppgave \, 1}$
Trekanten $ABC$ har en rett vinkel i $C$. Hvis medianen fra $C$ skjærer $AB$ i $M$, vis at trekantene $AMC$ og $BMC$ er likebeinte.

$\mathbf{Oppgave \, 2}$
En diameter i den omskrevne sirkelen til trekanten $ABC$ skjærer $\overline{BC}$ i to like deler. Vis at den samme diameteren skjærer $\overline{AC}$ i forholdet $1 : 3$ (regnet fra $A$) hvis og bare hvis $\tan B=2\tan C$.

$\mathbf{Oppgave \, 3}$
La $\Omega $ og $O$ være henholdsvis omsirkelen og omsenteret til en spissvinklet trekant $ABC$ med $AB > BC$. Vinkelhalveringslinjen til $\angle ABC$ møter $\Omega$ i $M\neq B$. La $\Gamma$ være sirkelen med diameter $BM$. Vinkelhalveringslinjene til $\angle AOB$ og $\angle BOC$ skjærer $\Gamma$ i henholdsvis $P$ og $Q$. Punktet $R$ på linjen $PQ$ er valgt slik at $BR=MR$. Vis at $BR \parallel AC$.

(Merk at en vinkelhalveringslinje her alltid antas å være en stråle.)

2


Får ikke dette til å stemme i GeoGebra?

Drezky skrev:2


Får ikke dette til å stemme i GeoGebra?

Helt sikker? Funker når jeg legger det inn.

stensrud skrev:

Drezky skrev:2


Får ikke dette til å stemme i GeoGebra?

Helt sikker? Funker når jeg legger det inn.

Da har jeg tolket oppgaven feil:..






Ops... det er vel noen feil med [tex]\tan B[/tex] ? .......... her..



Stemmer iallefall ikke her:

Bildet vises ikke.

Dolandyret skrev:Bildet vises ikke.

Too late...







Fikser det etterpå

Jeg ser hvorfor min konstruksjon var feil ,men jeg vet fremdeles ikke om dette stemmer:


Diameteren som deler [tex]\overline{BC}[/tex] i forholdet [tex]1:1[/tex] står vinkelrett på [tex]\overline{BC}[/tex]. La [tex]D[/tex] være skjæringspunktet mellom diameteren og [tex]\overline{AC}[/tex]. Hvis vi nedfeller en høyde fra hjørnet A til [tex]\overline{BC}[/tex] til et punkt [tex]E[/tex] (som er for øvrig parallell med [tex]\overline{DE}[/tex]. Da vil vi følge av vår rettvinklet trekant få: [tex]\tan\left ( \angle C \right )=\frac{\overline{AE}}{\overline{CF}}[/tex]

og at: [tex]\frac{1}{4}\overline{CF}+\frac{1}{2}\overline{BC}=\overline{CF}\, \Longleftrightarrow\, \overline{BC}=\frac{3}{2}\overline{CF}[/tex]

og [tex]tan\left ( \angle B \right )=\frac{\overline{AF}}{\overline{BC}-\overline{CF}}=\frac{\overline{AF}}{\frac{1}{2}\overline{CF}}=\frac{2\overline{AF}}{\overline{CF}}[/tex]

Følgelig blir forholdet [tex]1:4[/tex] ??

Drezky skrev:Jeg ser hvorfor min konstruksjon var feil ,men jeg vet fremdeles ikke om dette stemmer:


Diameteren som deler [tex]\overline{BC}[/tex] i forholdet [tex]1:1[/tex] står vinkelrett på [tex]\overline{BC}[/tex]. La [tex]D[/tex] være skjæringspunktet mellom diameteren og [tex]\overline{AC}[/tex]. Hvis vi nedfeller en høyde fra hjørnet A til [tex]\overline{BC}[/tex] til et punkt [tex]E[/tex] (som er for øvrig parallell med [tex]\overline{DE}[/tex]. Da vil vi følge av vår rettvinklet trekant få: [tex]\tan\left ( \angle C \right )=\frac{\overline{AE}}{\overline{CF}}[/tex]

og at: [tex]\frac{1}{4}\overline{CF}+\frac{1}{2}\overline{BC}=\overline{CF}\, \Longleftrightarrow\, \overline{BC}=\frac{3}{2}\overline{CF}[/tex]

og [tex]tan\left ( \angle B \right )=\frac{\overline{AF}}{\overline{BC}-\overline{CF}}=\frac{\overline{AF}}{\frac{1}{2}\overline{CF}}=\frac{2\overline{AF}}{\overline{CF}}[/tex]

Følgelig blir forholdet [tex]1:4[/tex] ??

Stensrud ?

Hva er $F?$

stensrud skrev:Hva er $F?$

F er punktet på BC som er slik at høyden fra A til [tex]\overline{BC}[/tex] er parallell med [tex]\overline{DE}[/tex]

Stensrud, har du en løsning på oppgave 2?

Det har jeg vet du

$\mathbf{Oppgave \ 2}$
En diameter i den omskrevne sirkelen til trekanten $ABC$ skjærer siden $BC$ i to like deler. Vis at den samme diameteren skjærer $AC$ i forholdet $1: 3$ (regnet fra $A$) hvis og bare hvis $\tan B=2\tan C$.

$\mathit{Løsning:}$ La diameteren skjære $AC$ i $D$, og la midtpunktet på $BC$ betegnes $M$ og fotpunktet fra $A$ på $BC$ for $E$. Vi skal vise at $AD:DC=1:3\iff \tan B=2\tan C$ ved hjelp av koordinater.

Vi legger $\triangle ABC$ inn i et koordinatsystem med $B=(0,0), \ C=(1,0)$, (wlog). La $AB$ være linja gitt ved $y=bx$, og linja $AC$ ved $y=cx-c$. Merk at da blir $\tan\angle B=b, \ \tan\angle C=-c$ og $A=(\frac{c}{c-b},\frac{bc}{c-b})$. På grunn av formlike trekanter er $EM/MC=AD/DC=1/3$. Men
\[ EM=\frac12 -\frac{c}{c-b} \quad \text{og} \quad MC=\frac12, \]
så
\[ AD/DC=\frac13 \iff \frac{\frac12-\frac{c}{c-b}}{\frac12}=\frac13 \iff b=-2c.\]
Siden $b=\tan B$ og $-c=\tan C$ er $b=-2c\iff \tan B=2\tan C$, som ønsket. $\blacksquare$

Som med de fleste løsninger som benytter seg av koordinatgeometri er denne ganske rett frem med en gang man har lagt inn alt i koordinatsystemet. Det finnes også en trigonometrisk løsning, men det blir jo omtrent det samme, og "vanlige" koordinater tok seg av tangens-delen på en veldig ryddig måte her. Oppgaven er forresten fra finalen til den svenske matematikkolympiaden i år.