matematikk.net

La $p(x)=x^2+ax+b$ være et polynom med reelle koeffisienter $a,b$. Anta at det fins en $s$ og $t$ der $s\neq t$, slik at $p(s)=t$ og $p(t)=s$.

Vis at $b-st$ er en løsning av likningen $x^2+ax+b-st=0$

Jeg er dårlig i problemløsning, men prøver meg likevel. Satt med den ganske lenge egentlig så vet ikke helt om jeg kom i mål

Oppgaven sier at [tex]s\neq t[/tex] og vi får vite at :

[tex]p(s)=t\Longleftrightarrow s^2+as+b=t\:\:\: (I)[/tex]

[tex]p(t)=s\Longleftrightarrow t^2+at+b=s\:\:\: (II)[/tex]

Subtraherer [tex]I-II=(s^2+as+b=t)-(t^2+at+b=s)\Longleftrightarrow s^2-t^2+as-at=t-s\Longleftrightarrow \left ( s-t \right )\left ( s+t+a+1 \right )=0[/tex]

Dvs at [tex]s+t=-\left ( a+1 \right )\:\:\: III[/tex]

Multipliserer [tex]I[/tex] og [tex]II[/tex] med [tex]s[/tex] og [tex]t[/tex] og deretter trekker fra hverandre.
--> [tex]s^3-t^3+a(s^2-t^2)+b(s-t)=0[/tex]

Slik at : [tex](s-t)(s^2+st+t^2+a(s+t)+b)=0[/tex]

Av det følger det at: [tex]s^2+st+t^2+a(s+t)+b=0[/tex]
[tex](s+t)^2+a(s+t)+b-st=0[/tex]

Bruker substitusjon for [tex]-(a+1)=s+t[/tex]


[tex](a+1)^2-(a+1)+b-st=0\:\:\: IV[/tex]

Ergo -\\\ [tex]b-st=-(a+1)[/tex]

Substitusjon igjen [tex]b-st[/tex] for [tex]-(a+1)[/tex] i [tex]IV[/tex] gir:

[tex](b-st)^2+a(b-st)+b-st=0[/tex] ----> [tex]x=b-st[/tex] er en løsning av [tex]x^2+ax+b-st=0[/tex]

Drezky skrev:

[tex](a+1)^2-(a+1)+b-st=0\:\:\: IV[/tex]

Ergo -\\\ [tex]b-st=-(a+1)[/tex]

Substitusjon igjen [tex]b-st[/tex] for [tex]-(a+1)[/tex] i [tex]IV[/tex] gir:

[tex](b-st)^2+a(b-st)+b-st=0[/tex] ----> [tex]x=b-st[/tex] er en løsning av [tex]x^2+ax+b-st=0[/tex]

Hvordan får du at [tex]b-st=-(a+1)[/tex] ?

Begynner på nytt ...............

Slurvefeil i første innlegg!

[tex]p(s)=t\Leftrightarrow s^2+as+b=t\:\:\:[1][/tex]
[tex]p(t)=s\Leftrightarrow t^2+at+b=s\:\:\:[2][/tex]


[tex][1]-[2]=\left ( s^2+as+b=t \right )-\left ( t^2+at+b=s \right )=s^2-t^2+as-at=t-s\Leftrightarrow (s-t)(s+t+a+1)=0\Leftrightarrow s+t=-(a+1)[/tex]

[tex]s+t=-(a+1)\:\:\: [3][/tex]

Multipliserer [tex][1][/tex] og [tex][2][/tex] med [tex](st)[/tex] og trekker fra [tex][1]-[2][/tex]

: [tex]s^3-t^3+a(s^2-t^2)+b(s-t)=0\Leftrightarrow (s-t)(s^2+st+t^2+a(s+t)+b)=0[/tex]

Deler [tex](s-t)[/tex] på VS og HS:

[tex]s^2+st+t^2+a(s+t)+b=0[/tex]

Omrokkerer:
[tex](s+t)^2+a(s+t)+b-st=0\:\:\: [4][/tex]

Substitusjon for [tex]s+t=-(a+1)[/tex] i [tex][4][/tex] gir:


[tex](-a-1)^2+a(-a-1)+b-st=0\:\: [5]\:\:\:\Leftrightarrow a+b-st+1=0\Leftrightarrow b-st=-(a+1)[/tex]

[tex]\therefore \:\:s+t=-(a+1)=b-st[/tex]

Substitusjon for [tex]-(a+1)=b-st[/tex] i [tex][5][/tex] gir:
[tex](b-st)^2+a(b-st)+b-st=0\Leftrightarrow x=b-st\:\:løsning\:\:av\:\:x^2+ax+b-st=0[/tex]


Dette burde vel stemme?

Drezky skrev:Begynner på nytt ...............

Slurvefeil i første innlegg!

[tex]p(s)=t\Leftrightarrow s^2+as+b=t\:\:\:[1][/tex]
[tex]p(t)=s\Leftrightarrow t^2+at+b=s\:\:\:[2][/tex]


[tex][1]-[2]=\left ( s^2+as+b=t \right )-\left ( t^2+at+b=s \right )=s^2-t^2+as-at=t-s\Leftrightarrow (s-t)(s+t+a+1)=0\Leftrightarrow s+t=-(a+1)[/tex]

[tex]s+t=-(a+1)\:\:\: [3][/tex]

Multipliserer [tex][1][/tex] og [tex][2][/tex] med [tex](st)[/tex] og trekker fra [tex][1]-[2][/tex]

: [tex]s^3-t^3+a(s^2-t^2)+b(s-t)=0\Leftrightarrow (s-t)(s^2+st+t^2+a(s+t)+b)=0[/tex]

Deler [tex](s-t)[/tex] på VS og HS:

[tex]s^2+st+t^2+a(s+t)+b=0[/tex]

Omrokkerer:
[tex](s+t)^2+a(s+t)+b-st=0\:\:\: [4][/tex]

Substitusjon for [tex]s+t=-(a+1)[/tex] i [tex][4][/tex] gir:


[tex](-a-1)^2+a(-a-1)+b-st=0\:\: [5]\:\:\:\Leftrightarrow a+b-st+1=0\Leftrightarrow b-st=-(a+1)[/tex]

[tex]\therefore \:\:s+t=-(a+1)=b-st[/tex]

Substitusjon for [tex]-(a+1)=b-st[/tex] i [tex][5][/tex] gir:
[tex](b-st)^2+a(b-st)+b-st=0\Leftrightarrow x=b-st\:\:løsning\:\:av\:\:x^2+ax+b-st=0[/tex]


Dette burde vel stemme?

Flott!

Det var en ganske artig oppgave! Kunne du lagt ut en liknende oppgave igjen?

En liknende en til:

La $p_1(x)=x^2+a_1x+b_1$ og $p_2(x)=x^2+a_2x+b_2$ være to kvadratiske polynomer med heltallige koeffisienter $a_1,a_2,b_1,b_2$. Anta at $a_1\neq a_2$, og at det fins heltall $m,n$ der $m\neq n$, slik at $p_1(m)=p_2(n)$ og $p_2(m)=p_1(n)$.

Vis at $a_1-a_2$ er et partall.

Vi har at

$m^2 + a_1m + b_1 = n^2 + a_2n + b_2$ og $ n^2 + a_1n + b_1 = m^2+a_2m + b_2$

Dette gir oss at

$(a_1 - a_2)(m+n) = 2(b_2 -b_1)$ og $(a_1 + a_2)(m-n) = 2(n^2-m^2)$
Av den andre likningen får vi dermed at $a_1 + a_2 = -2(n+m)$. Innsatt i den første likningen får vi: $(a_1-a_2)(a_1+a_2) = 4(b_1-b_2)$

Høyresiden av likningen er altså et partall, og fordi $a_1 + a_2$ og $a_1-a_2$ er enten begge partall eller oddetall så gir det oss at $a_1 - a_2$(og $a_1 + a_2$) må være et partall(produktet av to oddetall vil alltid være et oddetall)

Har du en til liknende oppgave? Har ikke så mye bedre å gjøre denne sommeren

xihe skrev: Har du en til liknende oppgave? Har ikke så mye bedre å gjøre denne sommeren

La $p(x)=x^2+ax+b$ der $a$ er reell og $b$ er rasjonal. Anta at $p(0)^2$, $p(1)^2$ og $p(2)^2$ er heltall. Vis at $a$ og $b$ er heltall.