matematikk.net

Tallene $49/k$ for $k=1,2,\dotsc , 97$ er skrevet på en tavle. Et trekk består av å velge to tall $a$ og $b$, viske dem ut, og skrive tallet $2ab-a-b+1$ på tavla. Etter $96$ trekk gjenstår kun ett tall. Finn alle mulige verdier av dette tallet.

Ferdig med eksamen og tid for IMO-oppkjøring?

plutarco skrev:Ferdig med eksamen og tid for IMO-oppkjøring?

Jepp, startet med litt østeuropeisk kombinatorikk

Definer $a*b=2ab-a-b+1$, dette er en binæroperasjon på $\mathbb{Q}$. Observer at $*$ er assosiativ;
$(a*b)*c=4abc-2ab-2bc-2ca+a+b+c=a*(b*c)$, og i tillegg er den selvfølgelig kommutativ; $a*b=b*a$.
Dette medfører at uavhengig av hvilken rekkefølge vi utfører operasjonen på tallene $\{49/k:1\leq k\leq 97\}$
vil vi alltid ende opp med det samme resutatet!
Videre har vi at $a*\frac{a}{2a-1}=\cdots = 1$ slik at spesielt er $\frac{49}{k}*\frac{49}{98-k}=1$. Dermed
\[\prod_{1\leq k\leq 97}\frac{49}{k}=\frac{49}{49}*\prod_{1\leq k\leq 48}\left( \frac{49}{k}*\frac{49}{98-k}\right)=
1*\prod_{1\leq k\leq 48}1=1,\]
siden $1*1=1$ (her tar vi selvfølgelig produktet med hensyn til $*$). Følgelig vil alltid tallet $1$ stå
igjen på tavla.