matematikk.net

Denne var artig:


De første leddene i en aritmetisk rekke er:
[tex]\frac{1}{log_2x},\frac{1}{log_{8}x},\frac{1}{log_{32}x},\frac{1}{log_{128}x},...[/tex]


Finn x dersom summen av de 20 første leddene er lik 100

Finnes det ikke en regel som sier at k=a2/a1?

Den gjelder for geometriske rekker. For aritmetiske rekker gjelder $d = a_n - a_{n-1}$

d = log8– log2= log8/2=log4
d= log32-log8= log32/8= log4
d= log4/logx

summen av de 20 første leddene er
20/2( 2* Log2/ logx + (20-1) log4/logx) =100
2* Log2/ logx +19* 2 log2/logx=10
Logx = 2log2 (1+19)/10= 4log2
x= 2^4= 16

x=16

Alternativt

$100=\sum_{n=0}^{19}(\log_{2^{2n+1}}x)^{-1} =\sum_{n=0}^{19} (\frac{\log x}{\log 2^{2n+1}})^{-1}=\sum_{n=0}^{19}\frac{(2n+1)\log 2}{\log x}=\frac{\log 2}{\log x}\sum_{n=0}^{19}2n+1=\frac{\log 2}{\log x}((2\sum_{n=0}^{19}n)+20)=\frac{\log 2}{\log x} 20^2 $, så

$\log x = \frac{\log 2\cdot 20^2}{100}=\log 2^4\Rightarrow x=2^4=16$

Mer generelt så kan en vise

$ \hspace{1cm}
\sum_{i = k}^{m} \left( \log_{2^{2n+1}} x \right)^{-1} = p \quad \longrightarrow \quad x = 2^{ \large \frac{(k+1+m)(m-k+1)}{p}} = 2^{[(m+1)^2 - k^2]/p}
$

med å følge samme fremgangsmåte som Plutarco.