Aleks855 skrev:Løs $$\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{1395}x}{\sin^{1395}x + \cos^{1395}x}\ \mathrm dx$$
Hint: Denne kan løses med VGS-kunnskaper (R2), litt ekstra pågangsmot, og med den nyttige egenskapen $\int_a^b f(x)\ \mathrm dx=\int_a^b f(a+b-x)\ \mathrm dx$
Jeg prøver:
$\int_a^b f(x)\ \mathrm dx=\int_a^b f(a+b-x)\ \mathrm dx$
Formelen angir følgende ekvivalens:
[tex]\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sin^{1395}(x)}{sin^{1395}(x)+cos^{1395}(x)}dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sin^{1395}(\frac{\pi }{2}+0-x)}{sin^{1395}(\frac{\pi }{2}+0-x)+cos^{1395}(\frac{\pi }{2}+0-x)}dx[/tex]
Jeg lar A betegne denne ekvivalensen.
Ved å bruke omgjøringsformlene/kjente trigonometriske identiteter, så vil man ende opp med følgende:
[tex]A=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{cos^{1395}(x)}{sin^{1395}(x)+cos^{1395}(x)}dx[/tex]
Nå prøver jeg meg videre med å addere disse to integraluttrykkene vi har, dvs. det opprinnelige integralet i oppgaven + det jeg har utledet nå.
[tex]A+A=2A=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sin^{1395}(x)+cos^{1395}(x)}{sin^{1395}(x)+cos^{1395}(x)}[/tex]
[tex]2A=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}1dx=\frac{\pi }{2}\Rightarrow A=\frac{\pi }{4}[/tex]