matematikk.net

Finn alle $a\in\mathbb{R}$ slik at det finnes en funksjon $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ med følgende to egenskaper:
\[\begin{array}{c c}
\mathrm{(i)}&f(f(x))=f(x)+x,\quad \text{for alle } x\in\mathbb{R}\\
\mathrm{(ii)}&f(f(x)-x)=f(x)+ax,\quad \text{for alle } x\in\mathbb{R}\\
\end{array}\]

[tex]f(f(x)) = f(x) + x <=> f(f(x)-x) = (f(x) - x) + x = f(x)[/tex]

Da:

[tex]f(f(x)-x) = f(x) + ax[/tex]

må,

[tex]f(x) = f(x) + ax <=> ax = 0 <=> a = 0[/tex]

Den første overgangen din stemmer nok ikke helt... Skal ikke røpe om svaret er riktig eller galt.

stensrud skrev:Finn alle $a\in\mathbb{R}$ slik at det finnes en funksjon $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ med følgende to egenskaper:
\[\begin{array}{c c}
\mathrm{(i)}&f(f(x))=f(x)+x,\quad \text{for alle } x\in\mathbb{R}\\
\mathrm{(ii)}&f(f(x)-x)=f(x)+ax,\quad \text{for alle } x\in\mathbb{R}\\
\end{array}\]

La x->f(x) i den andre likningen:

$f(f(f(x))-f(x))=f(f(x))+af(x)$

$f(x)=f(x)+x+af(x)$

$af(x)=-x$

Da må a være ulik 0. Så $f(x)=-\frac{x}{a}$.

Ved innsetting i den første likningen får vi dermed at

$\frac{x}{a^2}=-\frac{x}{a}+x$.

Må derfor ha at $1=-a+a^2$ som har løsninger $a=\frac12 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

Ved innsetting i den andre likningen har vi likedan at

$-\frac{f(x)-x}{a}=-\frac{x}{a}+ax$ og videre
$\frac{x}{a}+x=-x+a^2x$ som er det samme som
$1=-2a+a^3$

Denne har løsningene $a=\frac12 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ i tillegg til $a=-1$.

Vi konkluderer med at for $a=\frac12 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ fins det en funksjon som tilfredsstiller begge likningene samtidig.

Tommel opp! Oppgaven er fra årets NMC. Løste den helt likt selv bortsett fra at jeg tok med en del unødvendig argumentasjon om hvorfor $a\neq 0$.