matematikk.net

La $f: \mathbb R \to \mathbb R$ være slik at $f(f(x)) = f(x) + x$. Finn alle $x$ slik at $f(f(x)) = 0$.

Antar at en slik funksjon finnes (én mulighet er f. eks $f(x)=\phi x$, hvor $\phi=(1+\sqrt{5})/2$). Setter vi inn $f(x)$ i den originale likningen ser vi at alle $x$ tilfredsstiller $f^3(x)=f^2(x)+f(x)=2f(x)+x$. Hvis $y$ er slik at $f^2(y)=0$, må derfor $f(0)=f(y)=2f(y)+y$. Dette impliserer $f(0)=f(y)=-y$, slik at maks én slik $y$ finnes. Men samme resultat gir $f^2(0)=f^2(y)=0$, så $y=0$ er eneste mulige løsning.

Oppfølger: Finn alle $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at
\[f(xf(x)+f(y))=y+f(x)^2.\]

Hva betyr egentlig at f: reelle tall -> reelle tall
Betyr d at dersom du plotter inn et hvilket som helst reelt tall får du et reelt tall tilbake ?

Ja, det betyr at f er en funksjon der du setter inn et hvilket som helst reelt tall og får ut et eller annet reelt tall.

stensrud skrev:Oppfølger: Finn alle $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at
\[f(xf(x)+f(y))=y+f(x)^2.\]

$x=0$ gir at $f(f(y))=y+f(0)^2$.

La $x\to f(x)$ i den opprinnelige likningen:

$f(f(x)f(f(x))+f(y))=y+f(f(x))^2$

$f(f(x)(x+f(0)^2)+f(y))=y+(x+f(0)^2)^2$

La $x=-f(0)^2$, så vi får $f(f(y))=y$. (og da ser vi umiddelbart at $f(0)=0$)

Sett så $y=0$ i den opprinnelige likningen, og vi får

$f(xf(x))=f(x)^2$.

La $x\to f(x)$ i denne, og vi får

$f(f(x)f(f(x)))=f(f(x))^2$, som gir at

$f(xf(x))=x^2$ , og dermed må $f(x)^2=x^2$.

Den opprinnelige likningen blir nå

$f(xf(x)+f(y))=y+x^2$.

Anta at det fins en $x$ og en $y$ slik at $f(x)=-x$ og $f(y)=y$. Da er $f(xf(x)+f(y))=f(-x^2+y)$, som enten er lik $-x^2+y$ eller $x^2-y$. Det medfører at enten $x$ eller $y$ må være $0$.

Det samme skjer dersom det fins en $x$ og $y$ slik at $f(x)=x$ og $f(y)=-y$, siden $f(xf(x)+f(y))=f(x^2-y)$ enten er lik $x^2-y$ eller $-x^2+y$, og følgelig må enten $x$ eller $y$ være lik $0$.

Vi kan konkludere med at de eneste løsningene er enten at $f(x)=x$ for alle $x$, eller $f(x)=-x$ for alle $x$.

Oppfølgere:

I) Finn alle $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ som tilfredsstiller $f((x-y)^2)=f(x)^2-2xf(y)+y^2$

II) Finn alle $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ som tilfredsstiller $f(x^2-y^2)=xf(x)-yf(y)$