matematikk.net

Faktoriser $x(x+1)(x+2)(x+3) - 120$

Fant igjen denne oppgaven i en gammel tråd, måtte tenke litt før jeg fant den smarte faktoriseringen.

$120=2*3*4*5$

plutarco skrev:$120=2*3*4*5$

Sukk............
holdt akkurat på ...

Drezky skrev:

plutarco skrev:$120=2*3*4*5$

Sukk............
holdt akkurat på ...

Nå tipper jeg plutarco tok det der på strak hånd, fordi han har fakultetisert (lol) 5 opptil flere ganger. Det finnes fremdeles andre fremgangsmåter du kan løse oppgaven på

Aleks855 skrev:

Drezky skrev:

plutarco skrev:$120=2*3*4*5$

Sukk............
holdt akkurat på ...

Nå tipper jeg plutarco tok det der på strak hånd, fordi han har fakultetisert (lol) 5 opptil flere ganger. Det finnes fremdeles andre fremgangsmåter du kan løse oppgaven på

Jaja, men ut i fra den informasjonen du gav (Plutarco), bruker man bare "the rational root theorem) og faktoriserer? Jeg var inne på noe, men kom litt ut av det etter jeg så dette "hintet". Denne oppgaven er vel forøvrig lett med polynomdivisjon, men siden Nebu nevnte den "smarte løsningen" så kan vi vel kjapt ekskludere det?"

Let med polynomdivisjon er den vel ikke? i hvertfall finner jeg det langdrygt å bruke polynomdivisjon gjentatte ganger. Kan la dere få tenke litt videre =)

Nebuchadnezzar skrev:Let med polynomdivisjon er den vel ikke? i hvertfall finner jeg det langdrygt å bruke polynomdivisjon gjentatte ganger. Kan la dere få tenke litt videre =)

Har ikke prøvd ut noe polynomdivisjon, men det var iallefall første tanken så slo meg..(Burde sikkert ikke nevnt det før jeg prøvde )
Med hintet Plutarco gav oss:
[tex]120=5![/tex]
Det er tydelig at [tex](x-2)[/tex] og [tex](x+5)[/tex] er faktorer.
Dette impliserer den resterende faktoren som er kvadratisk har formen [tex](x^2+nx+12)[/tex]
For [tex]x=1[/tex] gir utrykket: [tex]24-120=(-1)(6)(n+13),\:\Rightarrow n+13=16\Leftrightarrow n=3[/tex]
Altså: [tex]x(x+1)(x+2)(x+3)-120=(x-2)(x+5)(x^2+3x+12)[/tex]

Hakket enklere er det vel å gjøre substitusjonen $x\to t+2$, slik at konstantleddet faller bort. Da er $t$ åpenbart en faktor, og siden alle koeffisienter etter å ha faktorisert ut $t$ er positive, må den andre roten være $<0$. Alternativene for nullpunktene videre blir da bare $-2,-7$ og $-11$, hvis jeg husker riktig.

Hvis TS godkjenner min løsning så tar jeg meg videre friheten til å slenge på med en annen oppgave:

Faktoriser:
[tex]x^{10}+x^{5}+1[/tex]

Her er røverløsningen. Legg merke til at

$
\color{red}x\color{blue}{(x+1)(x+2)}\color{red}{(x+3)} = (\color{red}{x^2+3x})( \color{blue}{x^2+3x+2}) = (x^2 + 3x)^2 + 2 (x^2 + 3x)
$

Dette gir at

$
\begin{align*}
x(x+1)(x+2)(x+3) - 120
& = y^2 + 2y - 120 \\
& = (y - 10)(y + 12) \\
& = (x^2 + 3x - 10)(x^2 + 3x + 12) \\
& = (x + 5)(x - 2)(x^2 + 3x + 12)
\end{align*}
$

Hvor $y = x^2 + 3x$ ble innført

Drezky skrev: Faktoriser:
[tex]x^{10}+x^{5}+1[/tex]

$x^{10}+x^5+1=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$

Ved å innse at $e^{2\pi i/3}$ og $e^{4\pi i/3}$ er røtter i polynomet, så vil
$x^2+x+1$ være en faktor, da er det bare å polynomdividere.

(Den andre faktoren er også faktisk irredusibel over $\mathbb{Q}$).

$x^{10}+x^5+1=\frac{x^{15}-1}{x^5-1}=\frac{\prod_{d|15}\Phi_d (x)}{\prod_{d|5}\Phi_d (x)}=\Phi_3(x)\cdot \Phi_{15}(x)=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$, der $\Phi_d (x)$ er det d-te syklotomiske polynomet.

[tex]x^{10}+x^{5}+1=\frac{x^{15}-1}{x^3-1}*\frac{x^3-1}{x^5-1}=(x^{12}+x^9+x^6+x^3+1)*\frac{x^2+x+1}{x^4+x^3+x^2+x+1}=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3æx+1)[/tex]