matematikk.net

Et tennislag bestående av 20 spillere har planlagt å spille nøyaktig 14 to-persons kamper imellom seg. Hver deltager spiller minst i et spill. Bevis at innenfor denne planen må det være et sett med 6 kamper med 12 forskjellige spillere.

Vi lar matchene spilles én om gangen; dette er selvfølgelig ingen restriksjon på oppsettet. Kampene deles så inn i $3$ kategorier:

• Hvis ingen av spillerne har spilt en kamp før, er kampen en kamp av kategori $A$.
• Hvis kun den ene spilleren har spilt en kamp før, er kampen av kategori $B$.
• Hvis begge spillerne har spilt en kamp før, er kampen av kategori $C$.

La så $a$ denotere antall kamper av kategori $A$, og tilsvarende med $b$ og $c$. Siden alle spiller minst én kamp, får vi likningene
\begin{align*}
2a+b&=20\\
a+b+c&=14\\
\end{align*}
som gir $8=b+2c\ge b+c\implies a\ge 6$, som ønsket; de seks kampene vi er ute etter er seks kamper av kategori $a$ (det følger av definisjonen at ingen kan spille mer enn én kamp av denne typen).

stensrud skrev:Vi lar matchene spilles én om gangen; dette er selvfølgelig ingen restriksjon på oppsettet. Kampene deles så inn i $3$ kategorier:

• Hvis ingen av spillerne har spilt en kamp før, er kampen en kamp av kategori $A$.
• Hvis kun den ene spilleren har spilt en kamp før, er kampen av kategori $B$.
• Hvis begge spillerne har spilt en kamp før, er kampen av kategori $C$.

La så $a$ denotere antall kamper av kategori $A$, og tilsvarende med $b$ og $c$. Siden alle spiller minst én kamp, får vi likningene
\begin{align*}
2a+b&=20\\
a+b+c&=14\\
\end{align*}
som gir $8=b+2c\ge b+c\implies a\ge 6$, som ønsket; de seks kampene vi er ute etter er seks kamper av kategori $a$ (det følger av definisjonen at ingen kan spille mer enn én kamp av denne typen).

Nice!