matematikk.net

Vis at $\sin 10$ er irrasjonalt. (grader selvfølgelig)

Skriver dette kjapt før jeg stikker på jobb, men her er et hint;

La $x = \sin10$

Bruk trippel-vinkel-formelen herfra: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_t ... e_formulae

Da får vi $-4x^3 + 3x = \sin30 = \frac12$

Da er $x$ løsningen på likninga $-8x^3 + 6x - 1 = 0$.

EDIT: Ser i etterkant at dette var ei nøtt, og jeg skrev som om det var leksehjelp.

Du er godt på vei da. Hvordan kan man vise at det du sitter med ikke har rasjonalr løsninger?

Jeg har ikke testa det, men Rational Root Theorem vil nok holde.

Dersom ingen av $\{\pm 1, \pm\frac12, \pm\frac14, \pm\frac18\}$ er røtter for likninga, så må løsninga være irrasjonal, og siden løsninga er sin10, så er det i boks!

Eller er jeg på villspor?

Det ser ut til å holde ja.

Substituerte selv $y = -2x$ slik at man får $y^3 - 3y + 1 = 0$. Substituer så $z = y + 2$ slik at vi ender opp med
$z^3 + 6z^2 + 9z + 3$. Eisensteins kriterie for $p = 3$ sammen med at $z^3 + 6z^2 + 9z + 3$ er irredusibel over heltallene (må teste $\pm 1, \pm 3$) gir at polynomet er irredusibelt over de rasjonale tallene.