matematikk.net

Synes denne var litt artig jeg:

"Is there a power of $2$ such that its digits could be rearranged and made into another power of $2$?"

(nuller foran tallene er ikke tillat, som $0032$ eller $01$)

Måtte force-restarte PC'en under et forsøk på å prøve alle toerpotenser opp til $2^{50}$.

Testa opp til $2^{35}$ på under et sekund. Der fant jeg ingen løsninger.

Vi observerer først at hvis sifrene til $2^n$ kan permuteres til $2^m$ må disse ha samme antall siffer
(siden det ikke er lovlig å plassere null som første siffer). Det vil si at $|m-n|\leq 3$.

Det vil si at det holder å vise at for et positivt heltall $n$ så har ingen av $2^n,2^{n+1},2^{n+2},2^{n+3}$
nøyaktig de samme sifrene. Videre ser vi at hvis to av dem inneholder de samme sifrene må de også
ha samme tverrsum.

Hvis $2^n=(a_na_{n-1}\cdots a_1a_0)_{10}$ så lar vi $T_{2^n}=a_0+\cdots+a_n$ stå for tverrsummen.
Observer nå at hvis vi i utregningen av produktet
$(a_n\cdots a_0)_{10}\cdot 2$ får en i mente på $k$ plasser vil

\[T_{2^{n+1}}=2(a_0+a_1+\cdots+a_n)-10k+k=2T_{2^n}-9k\]
Med et tilsvarende argument får vi også at $T_{2^{n+2}}=4T_{2^n}-9k_1$ og $T_{2^{n+3}}=8T_{2^n}-9k_2$.
Merk at i disse tilfellene kan vi også få mer enn en i mente på hver enkelt plass, men dette medfører
bare et tillegg i verdien av $k_j$.

På dette tidspunktet er det lurt å se på disse ligningene modulo $9$. Vi har da at
$T_{2^{n+1}}\equiv 2T_{2^n}$, $T_{2^{n+2}}\equiv 4T_{2^n}$ og $T_{2^{n+3}}\equiv 8T_{2^n}$.

Anta at $T_{2^{n+i}}\equiv T_{2^n} \mod{9}$ for en $1\leq i\leq 3$. Da har vi at
$T_{2^n}\equiv T_{2^{n+i}}\equiv 2^iT_{2^n}$ hvilket impliserer $T_{2^n}\equiv 0,3,6\mod{9}$.
I alle tilfeller medfører dette at $3|T_{2^n}$ og dermed $3|2^n$ som selvfølgelig ikke
er mulig. Vi kan dermed konkludere med at ingen av disse tverrsummene er like og
videre at ingen slike potenser av $2$ finnes.

Brahmagupta skrev:Bevis

Selvfølgelig helt riktig