matematikk.net

La $x,y,z$ være positive reelle tall slik at $xyz=1$. Vis at

$\frac{x^5y^5}{x^2+y^2}+\frac{y^5z^5}{y^2+z^2}+\frac{z^5x^5}{z^2+x^2}\geq \frac32$

Benytter substitusjonen $(x,y,z)=(\frac1{a},\frac1{b},\frac1{c})$. Da er også $abc=1$ og ulikheten transformeres til

$\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{c^2+a^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\geq\frac32$

På grunn av symmetri kan vi anta at $a\geq b\geq c$ som medfører $a^2+b^2\geq a^2+c^2\geq b^2+c^2$.

Ved rearrangementsulikheten får vi da de to ulikhetene

$\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{c^2+a^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\geq \frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}+\frac{a^3}{a^2+b^2}$

$\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{c^2+a^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\geq\frac{c^3}{b^2+c^2}+\frac{a^3}{c^2+a^2}+\frac{b^3}{a^2+b^2}$

Summerer vi disse ender vi opp med

$\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{c^2+a^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\geq\frac12 (\frac{b^3+c^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+a^2}+\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2})$

Videre har vi at $x^3+y^3=(x^2-xy+y^2)(x+y)\geq\frac12 (x^2+y^2)(x+y)\Leftrightarrow \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\geq\frac12 (x+y)$ hvilket medfører

$\frac12 (\frac{b^3+c^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+a^2}+\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2})\geq\frac12(a+b+c)\geq\frac32$

Hvilket var det vi ønsket å vise (her følger den siste ulikheten fra AM-GM: $a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}=3$).

Ser flott ut!