matematikk.net

1)
Anta at [tex]a,b,c[/tex] er positive reelle tall slik at [tex]abc=1[/tex].
Skriv følgende uttrykk så enkelt som mulig:

[tex]\frac1{ab+a+1}+\frac1{bc+b+1}+\frac1{ca+c+1}[/tex]


2) Formuler og bevis et lignende resultat for [tex]n[/tex] variable.

For n=4 antar jeg at du mener

$\frac{1}{abc+ab+a+1}+\frac{1}{bcd+bc+b+1}+\frac{1}{cda+cd+c+1}+\frac{1}{dab+da+d+1}$ med abcd=1.

Ganger ledd to med $a$ over og under, ledd tre med $ab$ over og under etc. og får at uttrykket er

$\frac{1}{abc+ab+a+1}+\frac{a}{abcd+abc+ab+a}+\frac{ab}{abcda+abcd+abc+ab}+\frac{abc}{abcdab+abcda+abcd+abc}$

$=\frac{1}{abc+ab+a+1}+\frac{a}{1+abc+ab+a}+\frac{ab}{a+1+abc+ab}+\frac{abc}{ab+a+1+abc}=1$.

Generaliserer:

Anta $\prod_{i=0}^{n-1} a_i=1$ for reelle positive $a_i$. Da er $\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{1+a_i+a_ia_{i+1}+...+a_{i}a_{i+1}...a_{i+n-2}}=1$, der indeksene er betraktet modulo $n$.

Da gjenstår beviset, som kanskje noen andre har lyst til å prøve seg på.

Ser bra ut dette!

Bevis for $n$ variabler:
Vi ønsker å bevise at hvis $\prod_{i=0}^{n-1}x_i=1$ for positive reelle $x_i$, så er $\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{x_ix_{i+1}...x_{i+n-2}+x_ix_{i+1}...x_{i+n-3}+...+x_i+1}=1$, der indeksene er betraktet modulo $n$.


Først litt notasjon:
Indeksene betraktes modulo $n$ hele veien.
Når det refereres til et ledd $l_k$, er det snakk om leddet $l_k= \frac{1}{x_kx_{k+1}...x_{k+n-2}+x_kx_{k+1}...x_{k+n-3}+...+x_k+1}$.


Nå tar vi for oss to generelle ledd $l_k$ og $l_{k+1}$, og beviser at $l_{k}=x_{k}\cdot l_{k+1}$:
Først utvider vi brøken $l_{k+1}$ ved å gange både teller og nevner med $x_k$, deretter erstatter vi $\prod_{i=0}^{n-1}x_i$ i nevneren med $1$, og rydder opp litt:
$ \frac{x_k\cdot 1}{x_k\cdot(x_{k+1}x_{k+2}...x_{k+n-1}+x_{k+1}x_{k+2}...x_{k+n-2}+...+x_{k+1}+1)}= \frac{x_k}{x_kx_{k+1}x_{k+2}...x_{k+n-1}+x_kx_{k+1}x_{k+2}...x_{k+n-2}+...+x_kx_{k+1}+x_k)}= \frac{x_k}{1+x_kx_{k+1}...x_{k+n-2}+...+x_kx_{k+1}+x_k)}=x_k\cdot \frac{1}{x_kx_{k+1}...x_{k+n-2}+x_kx_{k+1}...x_{k+n-3}+...+x_k+1}=x_k\cdot l_k $.

Altså er $l_{k+1}=x_k\cdot l_k$, som stemmer, da alle $x_i$ er positive (slik at nevner aldri er lik null).


Videre får vi nå at:
$l_1=x_0\cdot l_0$
$l_2=x_1\cdot l_1=x_0\cdot x_1\cdot l_0$
$\vdots$
$l_{n-1}=x_{n-2}\cdot l_{n-2}=\dotsc=\prod_{i=0}^{n-2}x_i \cdot l_0$

Og da blir $\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{x_ix_{i+1}...x_{i+n-2}+x_ix_{i+1}...x_{i+n-3}+...+x_i+1}=\sum_{i=0}^{n-1}l_i=(1+x_0+x_0x_1+...+x_0x_1...x_{n-2})\cdot \frac{1}{x_0x_{1}...x_{n-2}+x_0x_{1}...x_{n-3}+...+x_0+1}=1$, som var det vi ønsket å bevise.


Ser det greit ut?