Påskenøtt

[Gustav]

Finn alle tripler $(a,b,c)$ av positive heltall slik at

$abc+ab+c=a^3$.

[Solar Plexsus]

Samtlige positive løsninger av den diofantiske likningen

$(1) \;\; abc + ab + c = a^3$

er gitt ved $(a,b,c)=(t+1,1,t(t+1))$ eller $(a,b,c)=(t+1,t,t+1)$, der $t$ er et vilkårlig positivt heltall.

Bevis: Av (1) følger at $a|c$, dvs. at $c=ad$, som innsatt i (1) gir

$(2) \;\; abd + b + d = a^2$.

Følgelig må $a|b+d$, i.e. $b+d=ae$, som innsatt i (2) resulterer i

$(3) \;\; e(bd + e) = b + d$.

Hvis $e>1$, så er $e(bd + e) > 2bd \geq b + d$, hvilket er umulig iht. (3). Altså er $e=1$ (som igjen medfører at $b+d=a$), som innsatt i (3) gir

$bd + 1 = b + d$,

eller alternativt

$(b - 1)(d - 1) = 0$.

M.a.o. er $b=1$ eller $d=1$.
Hvis $b=1$, blir $a=d+1$ og $c=ad=d(d+1)$, i.e. $(a,b,c)=(d+1,1,d(d+1))$.
Hvis $d=1$, blir $a=b+1$ og $c=ad=a=b+1$, i.e. $(a,b,c)=(b+1,b,b+1)$.

q.e.d.