Enda en grei funksjonalligning

[Brahmagupta]

Funksjonen [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] oppfyller [tex]f(f(x))=f(x)+x[/tex] for alle [tex]x[/tex] i domenet.
Finn alle løsninger av ligningen [tex]f(f(x))=0[/tex]

[Gustav]

Funksjonen [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] oppfyller [tex]f(f(x))=f(x)+x[/tex] for alle [tex]x[/tex] i domenet.
Finn alle løsninger av ligningen [tex]f(f(x))=0[/tex]

La x-> f(x). Da er $=f(f(f(x)))=f(f(x))+f(x)=2f(x)+x$

La $x^*$ være en løsning av ligningen. Da er $f(f(x^*))=0$. Setter inn for $x^*$ i funksjonalligningene, og får at

$f(f(x^*))=0=f(x^*)+x^*$ og

$f(f(f(x^*)))=f(0)=2f(x^*)+x^*$.

Altså er $2f(x^*)=-2x^*$, og $x^*=-f(0)$

La x=0 i begge ligningene. Da er

$f(f(0))=f(0)$ og

$f(f(f(0)))=f(f(0))=f(0)=2f(0)$, så $f(0)=0$.

Altså er eneste løsning på ligningen at $x^*=-f(0)=0$

[Brahmagupta]

Eventuelt: [tex]f(x)=f(y) \Rightarrow f(f(x))=f(f(y))\Rightarrow f(x)+x=f(y)+y \Rightarrow x=y[/tex]
Dermed er [tex]f[/tex] injektiv. [tex]f(f(0))=f(0)\Rightarrow f(0)=0 \Rightarrow f(f(0))=0[/tex]
og fra injektiviteten følger det at denne løsningen er unik.