matematikk.net

Finn alle funksjoner $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ slik at

$f(m-n+f(n))=f(m)+f(n)$ for alle $n,m\in\mathbb{N}$.

Siden definisjonsmengden til $f$ er de naturlige tallene, så må (la $m = 1$):
$1 - n + f(n) \ge 1 $, som er det samme som at $f(n) \ge n$.

Videre kan ikke $f(n) = n$, i så fall blir
$$n = f( n - n + f(n) ) = f(n) + f(n) = 2n$$
som er umulig.

Følgelig er alltid $f(n) > n$. Dermed kan vi skrive $f(n) = n + g(n)$ hvor $g$ har samme definisjons- og verdimengde som $f$.

Ligningen blir nå:
$$m - n + [n + g(n)] + g(m - n + [n + g(n)] ) = [m + g(m)] + [n + g(n)]$$

Dette forkortes til:
$$ g(m + g(n)) = n + g(m) $$

Spesielt vil $g(n +g(n)) = n + g(n)$. Altså har $g$ uendelig mange fikspunkt.

La $g(1) = c$. Da blir $g(m + c) = 1 + g(m)$ slik at:
$$ g(kc + r) = 1 + g((k-1)c + r) = 2 + g((k-2)c + r) = \cdots = k + g(r) $$

La $n = kc + r$ hvor $r \le c$, og la $s$ være største verdi blant $g(1)$, $g(2)$, …, $g(c)$. Anta at $c > 1$; for $n > sc / (c - 1)$ vil da:
$$g(n) = k + g(r) < \frac{n}c + s < n$$

Følgelig kan ikke $g$ ha uendelig mange fikspunkt – en selvmotsigelse. Ergo: $c = 1$. Det gir $g(n) = n$ for alle $n$, og konklusjonen blir at eneste løsning er $f(n) = 2n$.

Alternativ løsning:

Anta at [tex]2n-f(n)>0[/tex] og la [tex]m=2n-f(n)[/tex]. Dette gir at
[tex]f(n)=f(2n-f(n))+f(n) \Leftrightarrow f(2n-f(n))=0[/tex]
hvilket er en motsigelse.

Dermed har vi at [tex]f(n)\geq 2n[/tex]. Benytter dette på den opprinnelige ligningen
[tex]f(m)+f(n)=f(m-n+f(n))\geq 2(m-n+f(n))[/tex]
[tex]f(m)+2n\geq f(n)+2m[/tex]

Ved å sette henholdsvis [tex]m=n+1[/tex] og [tex]m=n-1[/tex] får vi at
[tex]f(n+1)\geq f(n)+2[/tex] og [tex]f(n-1)+2\geq f(n)[/tex]

Dermed er [tex]f(n)\geq f(n-1)+2\geq f(n)[/tex] som kun er mulig hvis [tex]f(n)=f(n-1)+2[/tex]
Ved induksjon følger det at [tex]f(n)=2(n-1)+f(1)[/tex]

Brukes dette resultatet på den opprinnelige ligningen får vi at
[tex]2(m-n+f(n)-1)+f(1)=2(n-1)+2(m-1)+2f(1)[/tex]
[tex]2f(n)+2=4n+f(1) \Rightarrow 2(2(n-1)+f(1))+2=4n+f(1) \Rightarrow f(1)=2[/tex]

Dermed er eneste løsningen [tex]f(n)=2n[/tex] som også fungerer ved innsetting.