Heltallige løsninger

[Gustav]

Finn alle heltallige løsninger til $a^2+b^2+c^2=a^2b^2$

[Gjest]

Finn alle heltallige løsninger til $a^2+b^2+c^2=a^2b^2$

$c^2 = a^2b^2 - b^2 - a^2$
$c^2+1 = (a^2-1)(b^2-1)$
Legg merke til at om c er partall, så må både a og b være partall. Om c er oddetall så er a eller b odde.

Betrakter resten når RHS og LHS deles på 4:
c er odde: LHS får rest lik 2. RHS får rest lik 0.
c er partall: LHS får rest lik 1. RHS får rest lik 1.

Vi kan altså sette $c = 2c_1$, $a = 2a_1$, $b = 2b_1$:
$4c_1^2 = 16a_1^2b_1^2 - 4b_1^2 - 4a_1^2$
$c_1^2 = 4a_1^2b_1^2 - b_1^2 - a_1^2$

Vi ser at restene på RHS og LHS forblir uforandret for alle de ulike mulighetene av oddetall og partall. så den eneste mulige løsningen er når disse tallene kan deles uendelig mange ganger på 2. Den eneste mulige løsningen er altså $(a,b,c) = (0,0,0)$

[Gustav]

Riktig