Terninger og kvadrat-tall

[komite]

Utfordringer med terninger og kvadrat-tall:

Hvis vi har 512 kubiske byggeklosser så kan vi bygge en terning slik at den nye terningen får 8*8*8 byggeklosser. Denne terningen med disse antall byggeklosser er den minste med den egenskapen at antall byggeklosser som ligger ytterst rundt på alle sider er et kvadrat-tall, nemlig 169. Hvor mange kubiske byggeklosser må neste terning bestå av, slik at antall byggeklosser ytterst rundt på alle sider er et kvadrat-tall?
Finnes det uendelig mange slike løsninger monn tro?

[Brahmagupta]

Gitt en kube bestående av [tex]n^3[/tex] terninger vil antall terninger ytterst på sideflatene være gitt ved [tex]S(n)=n^3-(n-2)^3=6n^2-12n+8[/tex].
Det totale antall terninger minus antall terninger i kuben som ligger innenfor det ytterste laget (denne består av [tex](n-2)^3[/tex] terninger).
Dette gjelder ikke for n=1, som forøvrig gir et kvadrat.

En omskrivning gir [tex]S(n)=6(n-1)^2+2[/tex], men dette uttrykket er kongruent med 2 modulo 3, hvilket ikke er en kvadratisk rest. Dette medfører at
uttrykket aldri kan være et kvadrattall.

[tex]S(8)[/tex] er ikke lik 169 slik som det står i oppgaven, så jeg lurer på om jeg har misforstått hva du mener med antall byggeklosser ytterst på alle sidene.
Jeg tolker det som antallet byggeklosser som er synlige utenfra, altså ved å kunne snu og vende på kuben.

[komite]

En miss i teksten gjorde at oppgaven ikke kunne løses.
Jeg prøver igjen, denne gangen uten byggeklosser.

En utfordring med kubikk-tall og kvadrat-tall.

Oppgaven
Tallene 7 og 8 er de minste med den egenskapen at de følger like etter hverandre i tallrekken og samtidig har et kvadrat-tall som differanse når de opphøyes i tredje potens. Da blir spørsmålet. Hvilke to tall er de neste med samme kriteriene og egenskapen?

[Knuta]

Lag en funksjon f(n)=sqrt(n^3-(n-1)^3) Da får du følgende hele tall som oppfyller kravene:

Kode: Velg alt

n, f(n)
8, 13
105, 181
1456, 2521
20273, 35113
282360, 489061
3932761, 6811741
54776288,94875313

Det ser ut som neste tall i rekkefølgen er en faktor til den foregående på ~sqrt(194)

[LAMBRIDA]

Takk for rett og fin liste over de nevnte kriteriene!

[Knuta]

Her kan man lese litt mer om serien:
http://oeis.org/search?q=13%2C+181%2C+2 ... &go=Search
En kan trygt si at det finnes uendelig mange løsninger.