Innskrevet trekant

[Nebuchadnezzar]

Gitt en sirkel med sentrum S. Betrakt trekanten som er dannet
av å plassere tre vilkårlige punkt på sirkelen. Hva er sannsynligheten for at S ligger inne i trekanten?

Oppfølger: Gitt en n-kant, og betrakt en vilkårlig trekant dannet av tre punkter på n-kanten. Vis at sannsynligheten
for at sentrum ligger i trekanten blir det samme som for sirkelen.

[Gjest]

R1 nivå elle høyere??

[Gustav]

Uten tap av generalitet, anta at sirkelen har omkrets 1 og at det ene tilfeldige punktet befinner seg på et fast punkt. Avbild sirkelen på enhetsintervallet og identifisér 0 og 1. La x og y være to tilfeldige punkter på intervallet.

Kravet om at sentrum i sirkelen befinner seg inne i trekanten er nå ekvivalent med at alle avstandene mellom punktene er $\leq 0.5$. Hvis x<y må altså $x\leq 0.5$, $y-x\leq 0.5$ og $1-y\leq 0.5$. Hvis y<x må $y\leq 0.5$, $x-y\leq 0.5$ og $1-x\leq 0.5$.

Vi får at sannsynligheten blir forholdet mellom summen av arealene av de to trekantene over, delt på det totale arealet som er 1, altså $\frac{1}{4}$.

Fremgangsmåten blir vel nærmest identisk for regulære polygoner.

[Nebuchadnezzar]

Ser helt riktig ut det her. Merk at resultatet kan og generaliseres
til $n$-dimensjonal sfære med $n+2$ punkter, hvor sannsynligheten da er $2^{-(n+1)}$

http://math.stackexchange.com/questions ... /1407#1407

[Gustav]

Ganske artig med geometrisk sannsynlighet.

Oppfølger: Finn forventningsverdien til arealet av trekanten med hjørner i tre tilfeldig valgte punkter på enhetssirkelen.