Siden det er så stille her inne slenger jeg inn noen oppgaver som også er løselig for vgs'ere:
============
1)
forenkle summen under:
[tex]\large\frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 11}+...+\frac{1}{2000\cdot 2003}[/tex]
============
2)
Finn summen under:
[tex]\large 1^2-3^2+5^2-7^2+9^2-11^2+...+10001^2-10003^2[/tex]
============
3)
Finn alle tre sifre i N slik at N-14 er delelig på 7, N-24 er delelig på 8 og N-36 er delelig på 9.
============
4)
Vis at:
[tex]\large 29\cdot 20^{99} + 71\cdot 56^{64} + 24\cdot 37^{55}[/tex]
er delelig på 19.
4 greie oppgaver
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
1)
Vi har
$\displaystyle \frac{3}{2\cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8 } + \cdots + \frac{3}{2001 \cdot 2003} $
$\displaystyle = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \cdots - \frac{1}{2001} + \frac{1}{2001} - \frac{1}{2003} $
$\displaystyle = \frac{1}{2} - \frac{1}{2003} $
$\displaystyle = \frac{2001}{4006} $
Slik at $\displaystyle \frac{1}{2\cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8 } + \cdots + \frac{1}{2001 \cdot 2003} = \frac{2001}{12018} $
2)
$\displaystyle 1^2 - 3^2 + \cdots + 10001^2 - 10003^2 $
$\displaystyle = \sum_{n=0}^{2500} (4n + 1)^2 - (4n + 3)^2 $
$\displaystyle = \sum_{n=0}^{2500} - 8 - 16n $
$\displaystyle = - 8 \cdot 2501 - 16 \cdot \frac{2500 \cdot 2501}{2} $
$\displaystyle = - 2 \cdot 5002^2 = - 50040008 $
3)
Av informasjonen følger det at $ N $ er delelig med 7, 8, og 9. Det eneste tresifrede tallet med denne egenskapen er $ 504 = 7\cdot 8 \cdot 9 $.
4)
Av binomialteoremet kan vi skrive
$\displaystyle (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} { n \choose k} a^k b^{n-k} = am + b^n $
Hvor $ m $ er et heltall hvis $ a $ og $ b $ er heltall.
Dermed har vi at
$\displaystyle 29\cdot 20^{99} + 71 \cdot 56^{64} + 24 \cdot 37^{55} $
$\displaystyle = 29 \cdot (19 + 1)^{99} + 71 \cdot (3\cdot 19 - 1)^{64} + 24 \cdot (2\cdot 19 - 1)^{55} $
$\displaystyle = 19M + 29 + 71 - 24 = 19M + 76 = 19(M+4) $
Hvor $ M $ er et eller annet heltall.
Vi har
$\displaystyle \frac{3}{2\cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8 } + \cdots + \frac{3}{2001 \cdot 2003} $
$\displaystyle = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \cdots - \frac{1}{2001} + \frac{1}{2001} - \frac{1}{2003} $
$\displaystyle = \frac{1}{2} - \frac{1}{2003} $
$\displaystyle = \frac{2001}{4006} $
Slik at $\displaystyle \frac{1}{2\cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8 } + \cdots + \frac{1}{2001 \cdot 2003} = \frac{2001}{12018} $
2)
$\displaystyle 1^2 - 3^2 + \cdots + 10001^2 - 10003^2 $
$\displaystyle = \sum_{n=0}^{2500} (4n + 1)^2 - (4n + 3)^2 $
$\displaystyle = \sum_{n=0}^{2500} - 8 - 16n $
$\displaystyle = - 8 \cdot 2501 - 16 \cdot \frac{2500 \cdot 2501}{2} $
$\displaystyle = - 2 \cdot 5002^2 = - 50040008 $
3)
Av informasjonen følger det at $ N $ er delelig med 7, 8, og 9. Det eneste tresifrede tallet med denne egenskapen er $ 504 = 7\cdot 8 \cdot 9 $.
4)
Av binomialteoremet kan vi skrive
$\displaystyle (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} { n \choose k} a^k b^{n-k} = am + b^n $
Hvor $ m $ er et heltall hvis $ a $ og $ b $ er heltall.
Dermed har vi at
$\displaystyle 29\cdot 20^{99} + 71 \cdot 56^{64} + 24 \cdot 37^{55} $
$\displaystyle = 29 \cdot (19 + 1)^{99} + 71 \cdot (3\cdot 19 - 1)^{64} + 24 \cdot (2\cdot 19 - 1)^{55} $
$\displaystyle = 19M + 29 + 71 - 24 = 19M + 76 = 19(M+4) $
Hvor $ M $ er et eller annet heltall.
Alternativ
4)
Vis at:
[tex]\large 29\cdot 20^{99} + 71\cdot 56^{64} + 24\cdot 37^{55}[/tex]
er delelig på 19.
Siden $20\equiv 1$, $56\equiv -1$ og $37\equiv -1$ modulo 19, er uttrykket ekvivalent med [tex]\large 29\cdot 1^{99} + 71\cdot (-1)^{64} + 24\cdot (-1)^{55}\equiv 10+71-24\equiv 57\equiv 0[/tex] mod(19)
4)
Vis at:
[tex]\large 29\cdot 20^{99} + 71\cdot 56^{64} + 24\cdot 37^{55}[/tex]
er delelig på 19.
Siden $20\equiv 1$, $56\equiv -1$ og $37\equiv -1$ modulo 19, er uttrykket ekvivalent med [tex]\large 29\cdot 1^{99} + 71\cdot (-1)^{64} + 24\cdot (-1)^{55}\equiv 10+71-24\equiv 57\equiv 0[/tex] mod(19)