La x, y og z være vinklene i en trekant. Hvis a, b og c er trekantens sider, og R er radius til trekantens omskrevne sirkel. Vis da at
[tex]\large \cot(x)+\cot(y)+\cot(z)=\frac{R}{abc}(a^2+b^2+c^2)[/tex]
Trigonometri
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Lar motstående vinkler til henholdsvis [tex]a,b,c[/tex] være [tex]A,B,C[/tex]
Fra cosinussetningen har vi at [tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}[/tex]
Summerer vi denne for [tex]a,b,c[/tex] får vi at
[tex]a^2+b^2+c^2=2bc\cos{A}+2ac\cos{B}+2ab\cos{C}[/tex]
Dermed er
[tex]\frac{R}{abc}(a^2+b^2+c^2)=2R(\frac{\cos{A}}{a}+\frac{\cos{B}}{b}+\frac{\cos{C}}{c})[/tex]
I tillegg er [tex]R=\frac{a}{2\sin{A}}=\frac{b}{2\sin{B}}=\frac{c}{2\sin{C}}[/tex]
Som gir at for [tex]x=a,b,c[/tex] er
[tex]\frac1{\sin{X}}=\frac{2R}{x}[/tex]
og likheten følger.
Fra cosinussetningen har vi at [tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}[/tex]
Summerer vi denne for [tex]a,b,c[/tex] får vi at
[tex]a^2+b^2+c^2=2bc\cos{A}+2ac\cos{B}+2ab\cos{C}[/tex]
Dermed er
[tex]\frac{R}{abc}(a^2+b^2+c^2)=2R(\frac{\cos{A}}{a}+\frac{\cos{B}}{b}+\frac{\cos{C}}{c})[/tex]
I tillegg er [tex]R=\frac{a}{2\sin{A}}=\frac{b}{2\sin{B}}=\frac{c}{2\sin{C}}[/tex]
Som gir at for [tex]x=a,b,c[/tex] er
[tex]\frac1{\sin{X}}=\frac{2R}{x}[/tex]
og likheten følger.