Ikke primtall for alle n

[jhoe06]

Vis at det finnes uendelig mange positive heltall $ a $ slik at tallet $ n^4 + a $ ikke er et primtall for noe positivt heltall $ n $.

[Hoksalon]

Setter vi a = 4b^4 så kan vi faktorisere det ved hjelp av Sophie Germain sin identitet.

[tex]n^4 + 4b^4 = (n^2+2b)^2 - (2bn)^2 = (n^2-2bn+2b)(n^2+2b+2bn)[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Eller $a=n$ ...

[Janhaa]

Setter vi a = 4b^4 så kan vi faktorisere det ved hjelp av Sophie Germain sin identitet.
[tex]n^4 + 4b^4 = (n^2+2b)^2 - (2bn)^2 = (n^2-2bn+2b)(n^2+2b+2bn)[/tex]

du mener vel:

[tex]n^4 + 4b^4 = (n^2+2b^2)^2 - (2bn)^2 = (n^2-2bn+2b^2)(n^2+2b^2+2bn)[/tex]

[Hoksalon]

Eller $a=n$ ...

Da finner vi bare en verdi for a for en gitt n-verdi.

Janhaa: Du har rett, jeg slurvet litt.

[jhoe06]

Jeg løste den på samme måte. Strengt tatt er det vel også nødvendig å vise at ingen av faktorene er lik 1, men det er ikke så vanskelig å se at dette er tilfellet for $ b > 1$.

Oppgaven er hentet fra den internasjonale matematiske olympiaden i 1969.