Funksjonen $f$ har egenskapen at $f(x)+2f(\frac{1}{x}) = 3x$ for alle reelle tall x ulik $0$.
Finn alle løsninger av ligningen $f(x)=f(-x)$
Ligning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Vi er gitt $ f(x) + 2f(\frac{1}{x}) = 3x $ (1).
La $ y = \frac{1}{x} $. Vi ser da at funksjonen må tilfredsstille $ \frac{3}{x} = 3y = f(y) + 2f(\frac{1}{y}) = f(\frac{1}{x}) + 2f(x) $ (2).
Hvis vi legger sammen likningene (1) og (2), får vi
$ ( f(x) + 2f(\frac{1}{x}) ) + ( f(\frac{1}{x}) + 2f(x) ) = 3x + \frac{3}{x} $
eller $ f(x) + f(\frac{1}{x}) = x + \frac{1}{x} $ (3)
Anta at $ c $ er et punkt som tilfredsstiller $ f(c) = f(-c) $. Da har vi
$ 0 = f(c) - f(-c) $
$ = ( c + \frac{1}{c} - f(\frac{1}{c}) ) - (-c - \frac{1}{c} - f(\frac{1}{-c}) $
$ = 2(c + \frac{1}{c}) - f(\frac{1}{c}) + f(\frac{1}{-c}) $
$ = 2(f(c) + f(\frac{1}{c})) - f(\frac{1}{c}) + f(\frac{1}{-c}) $
$ = 2f(c) + f(\frac{1}{c}) + f(\frac{1}{-c}) $
$ = \frac{3}{c} + f(\frac{1}{-c}) $
Så vi har $ f(\frac{1}{-c}) = - \frac{3}{c} $
$ f $ må tilfredsstille $ f(x) + 2f(\frac{1}{x}) = 3x $ også for $ x = -c$. Dette innebærer at
$ f(-c) + 2f(\frac{1}{-c}) $
$ = f(-c) - \frac{6}{c} = -3c $
Eller $ f(-c) = \frac{6}{c} - 3c $. Ved (3) har vi også $ f(-c) = -c - \frac{1}{c} + \frac{3}{c} = \frac{2}{c} - c $.
Da har vi $ \frac{6}{c} - 3c = f(-c) = \frac{2}{c} - c $, som igjen innebærer at $ c^2 = 2 $.
EDIT: Fortegnsfeil.
EDIT2: Nok en feil.
La $ y = \frac{1}{x} $. Vi ser da at funksjonen må tilfredsstille $ \frac{3}{x} = 3y = f(y) + 2f(\frac{1}{y}) = f(\frac{1}{x}) + 2f(x) $ (2).
Hvis vi legger sammen likningene (1) og (2), får vi
$ ( f(x) + 2f(\frac{1}{x}) ) + ( f(\frac{1}{x}) + 2f(x) ) = 3x + \frac{3}{x} $
eller $ f(x) + f(\frac{1}{x}) = x + \frac{1}{x} $ (3)
Anta at $ c $ er et punkt som tilfredsstiller $ f(c) = f(-c) $. Da har vi
$ 0 = f(c) - f(-c) $
$ = ( c + \frac{1}{c} - f(\frac{1}{c}) ) - (-c - \frac{1}{c} - f(\frac{1}{-c}) $
$ = 2(c + \frac{1}{c}) - f(\frac{1}{c}) + f(\frac{1}{-c}) $
$ = 2(f(c) + f(\frac{1}{c})) - f(\frac{1}{c}) + f(\frac{1}{-c}) $
$ = 2f(c) + f(\frac{1}{c}) + f(\frac{1}{-c}) $
$ = \frac{3}{c} + f(\frac{1}{-c}) $
Så vi har $ f(\frac{1}{-c}) = - \frac{3}{c} $
$ f $ må tilfredsstille $ f(x) + 2f(\frac{1}{x}) = 3x $ også for $ x = -c$. Dette innebærer at
$ f(-c) + 2f(\frac{1}{-c}) $
$ = f(-c) - \frac{6}{c} = -3c $
Eller $ f(-c) = \frac{6}{c} - 3c $. Ved (3) har vi også $ f(-c) = -c - \frac{1}{c} + \frac{3}{c} = \frac{2}{c} - c $.
Da har vi $ \frac{6}{c} - 3c = f(-c) = \frac{2}{c} - c $, som igjen innebærer at $ c^2 = 2 $.
EDIT: Fortegnsfeil.
EDIT2: Nok en feil.
Sist redigert av jhoe06 den 22/07-2013 02:52, redigert 3 ganger totalt.
Det er vel heller at det ikke kommer klart frem når jeg snakker om alle $ x $ og når jeg snakker om en $ x $. For det er vel riktig at dersom $ f $ tilfredsstiller $ f(c) = f(-c) $ for et gitt punkt $ c $, så har vi nødvendigvis $ f(c) = \frac{3}{c} $?
OK, men hvordan får du at 2f(x)+f(1/x) = 3x i siste linje i den lengste utregningen? Det skal vel være =3/xjhoe06 skrev:Det er vel heller at det ikke kommer klart frem når jeg snakker om alle $ x $ og når jeg snakker om en $ x $. For det er vel riktig at dersom $ f $ tilfredsstiller $ f(c) = f(-c) $ for et gitt punkt $ c $, så har vi nødvendigvis $ f(c) = \frac{3}{c} $?
Oops. Dette er nå rettet opp i. Ser det bedre ut nå?plutarco skrev:OK, men hvordan får du at 2f(x)+f(1/x) = 3x i siste linje i den lengste utregningen? Det skal vel være =3/xjhoe06 skrev:Det er vel heller at det ikke kommer klart frem når jeg snakker om alle $ x $ og når jeg snakker om en $ x $. For det er vel riktig at dersom $ f $ tilfredsstiller $ f(c) = f(-c) $ for et gitt punkt $ c $, så har vi nødvendigvis $ f(c) = \frac{3}{c} $?
Vel, jeg tror du gjør en feil i siste linje.jhoe06 skrev: Oops. Dette er nå rettet opp i. Ser det bedre ut nå?
Si at x=c er løsningen vi er ute etter.
Du sier at $f(c)=3c$, men dette betyr ikke nødvendigvis at $f(\frac{1}{c})=\frac{3}{c}$. Med andre ord: f(x)=3x er ikke en formel som gjelder for alle x. Det gjelder kun for løsningene x av ligningen f(x)=f(-x).
Jeg skjønner. Litt småflaut å ha så mye feil i et løsningsforslag, dette er tross alt ikke noe hjelpeforum. Så jeg reviderte løsningen min nok en gang, jeg prøvde å "fikse" den gamle i steden for å lage en ny.
Men i steden for å prøve å trikse oss fram til en $ c $ slik at $ f(c) = f(-c) $, er det både penere og lettere å løse for $ f(x) $ direkte.
Som over, er det lett å vise at
$ 2f(x) + f(\frac{1}{x}) = \frac{3}{x} $
$ f(x) + f(\frac{1}{x}) = x + \frac{1}{x} $
Hvis vi trekker den andre likningen fra den første, får vi
$ f(x) = \frac{2}{x} - x $
Det er nå lett å finne en $ c $ som tilfredsstiller $ f(c) = f(-c) $. Vi har $ f(c) = f(-c) \iff \frac{2}{c} - c = c - \frac{2}{c} $. Løser vi den siste likningen får vi $ c = \pm \sqrt{2} $.
Men i steden for å prøve å trikse oss fram til en $ c $ slik at $ f(c) = f(-c) $, er det både penere og lettere å løse for $ f(x) $ direkte.
Som over, er det lett å vise at
$ 2f(x) + f(\frac{1}{x}) = \frac{3}{x} $
$ f(x) + f(\frac{1}{x}) = x + \frac{1}{x} $
Hvis vi trekker den andre likningen fra den første, får vi
$ f(x) = \frac{2}{x} - x $
Det er nå lett å finne en $ c $ som tilfredsstiller $ f(c) = f(-c) $. Vi har $ f(c) = f(-c) \iff \frac{2}{c} - c = c - \frac{2}{c} $. Løser vi den siste likningen får vi $ c = \pm \sqrt{2} $.