matematikk.net

La $p(x)=\frac{x^5+a}{b}$.

Finn alle positive heltall $a$ og $b$ slik at det fins tre påfølgende heltall $m$, $m+1$, $m+2$ der både $p(m)$, $p(m+1)$ og $p(m+2)$ er heltallige verdier.

La C(a,b) være påstanden at det eksisterer [tex]m \in \mathbb{Z}[/tex] slik at [tex]p(m), p(m+1)[/tex] og [tex]p(m+2)[/tex] er hele tall.

Vi setter [tex]T(x) = x^5 + a[/tex].

1. Det er åpenbart at C(a, 1) er sann.

2. Hvis [tex]b[/tex] er et partall, så er C(a, b) falsk, siden to påfølgende femtepotenser alltid har ulik paritet, og dermed er enten [tex]T(m)[/tex] eller [tex]T(m+1)[/tex] et oddetall.

3. Fra og med nå setter vi [tex]n = m+1[/tex] slik at [tex]T(m+2) = T(n+1)[/tex] etc., for å få litt enklere utregninger. Hvis C(a,b) er sann, så er [tex]T(m+2), T(m+1)[/tex] og [tex]T(m)[/tex] kongruente med 0 mod [tex]b[/tex], og dermed er følgende to uttrykk kongruente med 0 mod [tex]b[/tex]. (Her har vi brukt Pascals trekant for å regne ut femtepotensene.)

I: [tex]T(m+2) - T(m) = T(n+1) - T(n-1) = 10n^4 + 20n^2 + 2[/tex]

II: [tex]T(m+2) - T(m+1) = 5 n^4 + 10 n^3 + 10 n^2 + 5 n + 1[/tex]

Ved å multiplisere likning II med 2 og så trekke fra likning I får vi et nytt uttrykk som også er kongruent med 0 mod [tex]b[/tex], nemlig:

III: [tex]T(m+2)-2T(m+1) + T(m) = 10n(n^2+1)[/tex]

4. Vi viser at C(a,b) er falsk dersom [tex]b[/tex] er en multippel av 5.
Anta motsatsen, altså at C(a, b) er sann. Da er differansen [tex]T(m+2) - T(m)[/tex] kongruent med 0 mod [tex]b[/tex], og dermed også kongruent med 0 mod 5. Men utregning I ovenfor viser at uttrykket er kongruent med 2 mod 5. Motsigelse.

5. Anta nå at C(a, b) er sann der [tex]b[/tex] er større enn 1 men ikke er delelig med 2 eller 5. La [tex]q[/tex] være en primfaktor i b. Uttrykk III er kongruent med 0 mod [tex]b[/tex], og dermed også kongruent med 0 mod [tex]q[/tex]. Dette medfører at [tex]q[/tex] er en faktor enten i 10, i [tex]n[/tex], eller i [tex](n^2+1)[/tex].

Primtallet [tex]q[/tex] kan ikke dele 10. Anta att [tex]q[/tex] deler [tex]n[/tex]. Da får vi en motsigelse fra uttrykk II: siden dette uttrykket er kongruent med 0 mod [tex]q[/tex] får vi at 1 er kongruent med 0 mod [tex]q[/tex].

Vi ser altså at [tex]q[/tex] er en faktor i [tex](n^2+1)[/tex]. Men uttrykk I kan skrives som [tex](10n^2+10)(n^2 +1) - 8[/tex]. Siden dette er kongruent med 0 mod [tex]q[/tex] ser vi at [tex]q[/tex] deler 8, dvs. [tex]q=2[/tex]. Motsigelse igjen, siden [tex]b[/tex] var odde.

6. Konklusjon: C(a, b) er sann hvis og bare hvis [tex]b=1[/tex].

Det er riktig at b=1 er mulig, men det fins også andre løsninger.

F.eks.

$f(x)=\frac{x^5+1}{11}$ med x=6,7,8

Stemmer ja feil av meg i slutten av punkt 3, det siste uttrykket der blir jo [tex]10n(2n^2+1)[/tex] og ikke [tex]10n(n^2+1)[/tex]. Skal prøve på nytt!

Punkt 4 er fortsatt riktig. Detsamme gjelder for de første to paragrafene av punkt 5, men med konklusjonen at [tex]q[/tex] er en faktor i [tex](2n^2+1)[/tex] isteden.

Uttrykk I, multiplisert med 2, kan nå skrives om ved hjelp av polynomdivison som:
[tex]2(10n^4+20n^2+2) = (2n^2+1)(10n^2+15) - 11[/tex]

Siden [tex]q[/tex] deler venstresiden og første ledd i høyresiden må $q$ også dele 11, og dette medfører [tex]q=11[/tex].

Konklusjonen er altså at hvis [tex]b[/tex] er større enn 1, så må [tex]b[/tex] være på formen [tex]11^k[/tex]. Gjenstår å finne ut hvilke [tex]k[/tex]-verdier som er mulige, og hvilke tilhørende [tex]a[/tex]-verdier som er mulige!

Jeg tror at løsningene (bortsett fra [tex]b=1[/tex]) er på formen: [tex]b=11[/tex], [tex]a=11r \pm 1[/tex] der [tex]r \in \mathbb{Z}[/tex]. Hvis [tex]a=11r + 1[/tex] kan vi velge hvilken som helst [tex]m \equiv 6 \mod 11[/tex] og hvis [tex]a=11r - 1[/tex] kan vi velge hvilken som helst [tex]m \equiv 3 \mod 11[/tex].

Stemmer dette?

mattemonsteret skrev:Jeg tror at løsningene (bortsett fra [tex]b=1[/tex]) er på formen: [tex]b=11[/tex], [tex]a=11r \pm 1[/tex] der [tex]r \in \mathbb{Z}[/tex]. Hvis [tex]a=11r + 1[/tex] kan vi velge hvilken som helst [tex]m \equiv 6 \mod 11[/tex] og hvis [tex]a=11r - 1[/tex] kan vi velge hvilken som helst [tex]m \equiv 3 \mod 11[/tex].

Stemmer dette?

Ja, riktig.