La n være et partall. Anta at [tex]p(x)[/tex] er et polynom av grad [tex]n[/tex] og at [tex]p(k)=\frac{k}{k+1}[/tex] for [tex]k[/tex] lik [tex]0,1,2,3,..,n[/tex].
Finn [tex]p(n+1)[/tex].
Polynom
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La $q(x)=(1+x)p(x)-x$, og la ledende koeffisient til $p(x)$ være $a_n$
Da er $q(k)=(1+k)p(k)-k=0$ for $k=0,1,2,...,n$.
Siden $q(x)$ er et polynom av grad $n+1$ med de nevnte nullpunktene, kan man slutte at
$q(x)=a_nx(x-1)(x-2)...(x-n)$ , altså er $q(n+1)=a_n(n+1)(n+1-n)...(n+1-1)=a_n(n+1)!$
Da er $a_n(n+1)! =(1+n+1)p(n+1)-(n+1)$ så $p(n+1)=\frac{a_n(n+1)!+n+1}{n+2}$
Hm, mulig det ble noe feil her. Jeg ser ikke umiddelbart hvorfor n må være partall slik du skriver.
Da er $q(k)=(1+k)p(k)-k=0$ for $k=0,1,2,...,n$.
Siden $q(x)$ er et polynom av grad $n+1$ med de nevnte nullpunktene, kan man slutte at
$q(x)=a_nx(x-1)(x-2)...(x-n)$ , altså er $q(n+1)=a_n(n+1)(n+1-n)...(n+1-1)=a_n(n+1)!$
Da er $a_n(n+1)! =(1+n+1)p(n+1)-(n+1)$ så $p(n+1)=\frac{a_n(n+1)!+n+1}{n+2}$
Hm, mulig det ble noe feil her. Jeg ser ikke umiddelbart hvorfor n må være partall slik du skriver.
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Ikke noe feil, men du kan forenkle svaret ytterligere!
Edit: For å være litt mer presis: det skal ikke være andre variabler enn eventuelt n i svaret.
Edit: For å være litt mer presis: det skal ikke være andre variabler enn eventuelt n i svaret.
Vi har jo naturligvis at $q(-1)=1=a_n(-1)(-2)...(-1-n)=a_n(n+1)!(-1)^{n+1}$, altså er $p(n+1)=\frac{(-1)^{n+1}+n+1}{n+2}$. Like n gir at $p(n+1)=\frac{n}{n+2}$Brahmagupta skrev:Ikke noe feil, men du kan forenkle svaret ytterligere!
Edit: For å være litt mer presis: det skal ikke være andre variabler enn eventuelt n i svaret.
Så for odde n så blir $\displaystyle p(n+1) = 1$?
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Ser bra ut det ja! Gjorde den på samme måte.