Atter en ulikhet

[Gustav]

Vis at $1<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{3n+1}<2$ for alle positive heltall n.

[Brahmagupta]

Den høyre ulikheten følger av at

[tex]\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+1}<(2n+1)\frac1{n+1}<2[/tex]

For vise den venstre ulikheten viser jeg først ulikheten (for i mellom 0 og n)

[tex]\frac1{n+1+i}+\frac1{3n+1-i}>\frac2{2n+1}[/tex]

[tex]\frac{4n+2}{(n+1+i)(3n+1-i)}>\frac2{2n+1}[/tex]

som forenkles til

[tex](2n+1)^2>(n+1+i)(3n+1-i)=((2n+1)-(n-i))((2n+1)+(n-i))=(2n+1)^2-(n-i)^2[/tex]
som åpenbart er sant.

Ved å summere denne ulikheten for i lik null til i lik n-1 får man at

[tex]\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+1}>n\frac2{2n+1}+\frac2{n+1}=1[/tex]
Dermed er ulikheten bevist.

[Brahmagupta]

Fra denne ulikheten følger det vel også at den harmoniske rekken er divergent.