Fire kuler omsluttet av et tetraeder

[magneam]

Hei matematikk.net!

Jeg har tenkt litt på en oppgave i det siste, og har funnet den vanskeligere enn den tilsynelatende er. Hva synes dere?

Du har fire like store kuler med radius r, og stabler dem som kanonkuler slik at du har tre kuler i bunnen og en som hviler oppå de andre. Klipp så fire trekanter i papir som omslutter kulene perfekt. Hvor store må trekantene være uttrykt ved r?

[Emilga]

Wups. Tenkte i 2D.

[magneam]

Elaborate please

[Emilga]

De fire kulesentrene vil danne et regulært tetraeder som har kanter lik lengde [tex]2r[/tex]. For at dette nøyaktig skal omslutte alle kulene må høyden [tex]h[/tex] fra et gitt hjørne normalt ned til motstående flate skaleres til [tex]h+r[/tex].

[magneam]

Jeg har funnet at hvis du lar sentrum til den ene kula være i origo, vil de andre sentrene være i
[tex] S2=(2r,0,0) \\ S3=(r,sqrt{3}r,0) \\ S4=(r, \frac{\sqrt{3}}{2}r, \frac{3}{2}r) [/tex]

[magneam]

De fire kulesentrene vil danne et regulært tetraeder som har kanter lik lengde [tex]2r[/tex]. For at dette nøyaktig skal omslutte alle kulene må høyden [tex]h[/tex] fra et gitt hjørne normalt ned til motstående flate skaleres til [tex]h+r[/tex].

Kan du utdype, eventuelt vise dette?

[Emilga]

Når to kuler med radius a og b ligger inntil hverandre, så vil avstanden fra kulesentrene være lik summen av radiene: a + b. Jeg anser det som åpenbart at kulenesentrene vil danne et regulært teatraeder når de ligger som du har beskrevet. Kan evt. tegnes opp. Grunnen til at høyden må skaleres, er at overflaten til tetraederet ligger inni kulene. Mer spesifikt ligger den "midt inni" kulene, så hvis du vil ha den utenfor kulene, må høyden økes minst like langt som lengden til radiusen.

[Nebuchadnezzar]

Du mener kanskje en stor pyramide skal omslutte kulene?



Arealet av thetrahederet ditt blir dermed (*)

[tex]A = \frac{\sqrt{2}}{12} s^3[/tex] Hvor [tex]s = 2g + 2r [/tex]

Og [tex]\large g[/tex] kan bli funnet ut i fra cosinussetningen på trekanten med to grønne sider, og en rosa.

osv. Detaljene får du fylle inn selv =)

(*) Se her for formelen for arealet av et thetraheder http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron

[magneam]

Du mener kanskje en stor pyramide skal omslutte kulene?

Blir det så enkelt? Jeg mener bestemt at det ikke blir slik som figuren din viser når det er et tetraeder, hvis jeg forstod deg rett. Det linjestykket du har skissert inn fra sentrum i kulen nederst til høyre til sentrum i kulen øverst til høyre, vil ligge på skrå inn / ut i rommet. Det blir vanskeligere å skissere med en gang geometrien er i rommet

[Nebuchadnezzar]

Husk at tegningen min er ovenfra og ned, og uansett spiller det ingen rolle. Men jeg kan la deg tenke litt på hvorfor

[Emilga]

Et tetraeder er det samme som en pyramide med trekant-bunn.

[Karl_Erik]

Husk at tegningen min er ovenfra og ned, og uansett spiller det ingen rolle. Men jeg kan la deg tenke litt på hvorfor

Det figuren din viser sett ovenfra og ned er et prisme med trekantet grunnflate med tre innskrevne sylindre. Nå kan det fort hende jeg roter, men som magneam mener jeg også at fire kuler i et tetraeder ser annerledes ut.

[Nebuchadnezzar]

Ja selvsagt, eller om de tre kulene i bunn hadde vært halvkuler hadde utregningen stemt. Skal gi det noen flere minutter.