En dag tenkte jeg på 1000 kubiske byggeklosser som ligger tett samlet som en stor terning og fant ut at antallet består av et kvadrat-tall og et kubikk-tall.,Altså i de to ytterste lagene rundt på alle sider er antallet 784 (28*28), mens resten er en mindre terning med antall av 216 (6*6*6).
Spørsmålet er i all enkelhet.,Hvor mange byggeklosser må neste terning bestå av, slik at antall byggeklosser i de to ytterste lagene tilsvarer et kvadrat-tall?
Eller, kva er de etterfølgene løsningene her?
Kryptisk terning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Hvis den største kuben har side n+2 byggeklosser, har den indre kuben n-2.
Hvis de resterende klossene skal være kvadratet på m i tallet, får vi [tex](n+2)^3=(n-2)^3+m^2[/tex] som etter litt forenkling blir til [tex]12n^2+16=m^2[/tex].
Siden venstresida er delelig med 4, må høyresida også være det, så m må være et partall, si m=2k som gir [tex]3n^2+4=k^2[/tex].
Hvis n eller k (men ikke begge) er oddetall, får vi et oddetall på den ene sida og et partall på den andre. Hvis både n og k er oddetall, vil venstresida gi rest 3 hvis vi deler med 4, mens høyresida får rest 1. Derfor er både n og k partall, si n=2y og k=2x.
Ligninga blir nå [tex]x^2-3y^2=1[/tex] som er ei Pell-ligning som har kjente løsninger. De første er (x,y)=(2,1), (7,4), (26,15) som når vi bruker at n+2=2y+2 og m=4x gir at den neste kuben er sidelengde 32.
Hvis de resterende klossene skal være kvadratet på m i tallet, får vi [tex](n+2)^3=(n-2)^3+m^2[/tex] som etter litt forenkling blir til [tex]12n^2+16=m^2[/tex].
Siden venstresida er delelig med 4, må høyresida også være det, så m må være et partall, si m=2k som gir [tex]3n^2+4=k^2[/tex].
Hvis n eller k (men ikke begge) er oddetall, får vi et oddetall på den ene sida og et partall på den andre. Hvis både n og k er oddetall, vil venstresida gi rest 3 hvis vi deler med 4, mens høyresida får rest 1. Derfor er både n og k partall, si n=2y og k=2x.
Ligninga blir nå [tex]x^2-3y^2=1[/tex] som er ei Pell-ligning som har kjente løsninger. De første er (x,y)=(2,1), (7,4), (26,15) som når vi bruker at n+2=2y+2 og m=4x gir at den neste kuben er sidelengde 32.
Jeg lagde likning for de to ytterste lagene, der de to lagene uttrykkes;
12x^2-48x+64=K
x er lengden på sidene i den store terningen.
Når K er et kvadrattall er det en gyldig løsning
Skrev et lite script og fant løsninger opp til 500,000,000;
4, 10, 32, 114, 420, 1562, 5824, 21730, 81092, 302634, 1129440,
4215122, 15731044, 58709050, 109552577, 124229839, 138907101,
153584363, 160396104, 168261625, 175073366, 182938887, 189750628, 197616149,204427890, 219105152, 225916893, 233782414, 248459676, 263136938, 269948679, 277814200, 284625941, 292491462, 299303203, 306114944, 312926685, 313980465, 320792206, 321845986, 328657727, 329711507, 335469468, 336523248, 343334989, 350146730, 351200510, 356958471, 358012251, 364823992, 365877772, 371635733, 372689513, 379501254, 380555034, 386312995, 387366775, 394178516, 395232296, 400990257, 402044037, 408855778, 409909558, 415667519, 416721299, 423533040, 430344781, 431398561, 437156522, 438210302, 445022043, 451833784, 452887564, 458645525, 459699305, 460753085, 466511046, 467564826, 474376567, 475430347, 482242088, 489053829, 495865570,
496919350
12x^2-48x+64=K
x er lengden på sidene i den store terningen.
Når K er et kvadrattall er det en gyldig løsning
Skrev et lite script og fant løsninger opp til 500,000,000;
4, 10, 32, 114, 420, 1562, 5824, 21730, 81092, 302634, 1129440,
4215122, 15731044, 58709050, 109552577, 124229839, 138907101,
153584363, 160396104, 168261625, 175073366, 182938887, 189750628, 197616149,204427890, 219105152, 225916893, 233782414, 248459676, 263136938, 269948679, 277814200, 284625941, 292491462, 299303203, 306114944, 312926685, 313980465, 320792206, 321845986, 328657727, 329711507, 335469468, 336523248, 343334989, 350146730, 351200510, 356958471, 358012251, 364823992, 365877772, 371635733, 372689513, 379501254, 380555034, 386312995, 387366775, 394178516, 395232296, 400990257, 402044037, 408855778, 409909558, 415667519, 416721299, 423533040, 430344781, 431398561, 437156522, 438210302, 445022043, 451833784, 452887564, 458645525, 459699305, 460753085, 466511046, 467564826, 474376567, 475430347, 482242088, 489053829, 495865570,
496919350
hehehe, her var jeg for sent ute 
Men jeg modifiserte oppgaven litt og og resultatet uteble ikke. Ingen formel fra min side bare kode. Det første tallet er sidelengde i kuben, den andre er antall lag som skrelles av. på grunn av ekstreme datamengder ble det bare kjørt opptil 1000 i sidelende. Jeg har også fjernet alle forekomster der antallet lag som ble skrelt av til det ble ingenting igjen.
{10, 2}, {32, 2}, {40, 8}, {56, 14}, {71, 24}, {78, 26}, {90, 18}, {112, 42}, {114, 2}, {128, 8}, {132, 54}, {155, 62}, {160, 32}, {217, 14}, {218, 96}, {224, 56}, {228, 38}, {250, 50}, {260, 78}, {266, 114}, {284, 96}, {288, 18}, {296, 54}, {312, 104}, {349, 96}, {360, 72}, {403, 78}, {420, 2}, {443, 216}, {448, 168}, {456, 8}, {475, 152}, {478, 96}, {490, 98}, {504, 126}, {512, 32}, {520, 150}, {522, 242}, {528, 216}, {553, 158}, {560, 42}, {592, 74}, {616, 294}, {620, 248}, {639, 216}, {640, 128}, {694, 216}, {702, 234}, {704, 242}, {763, 350}, {770, 242}, {772, 150}, {793, 366}, {800, 50}, {810, 162}, {858, 338}, {858, 216}, {863, 96}, {868, 350}, {868, 186}, {868, 56}, {872, 384}, {896, 224}, {912, 152}, {946, 338}, {987, 14}, {1000, 200}
Men jeg modifiserte oppgaven litt og og resultatet uteble ikke. Ingen formel fra min side bare kode. Det første tallet er sidelengde i kuben, den andre er antall lag som skrelles av. på grunn av ekstreme datamengder ble det bare kjørt opptil 1000 i sidelende. Jeg har også fjernet alle forekomster der antallet lag som ble skrelt av til det ble ingenting igjen.
{10, 2}, {32, 2}, {40, 8}, {56, 14}, {71, 24}, {78, 26}, {90, 18}, {112, 42}, {114, 2}, {128, 8}, {132, 54}, {155, 62}, {160, 32}, {217, 14}, {218, 96}, {224, 56}, {228, 38}, {250, 50}, {260, 78}, {266, 114}, {284, 96}, {288, 18}, {296, 54}, {312, 104}, {349, 96}, {360, 72}, {403, 78}, {420, 2}, {443, 216}, {448, 168}, {456, 8}, {475, 152}, {478, 96}, {490, 98}, {504, 126}, {512, 32}, {520, 150}, {522, 242}, {528, 216}, {553, 158}, {560, 42}, {592, 74}, {616, 294}, {620, 248}, {639, 216}, {640, 128}, {694, 216}, {702, 234}, {704, 242}, {763, 350}, {770, 242}, {772, 150}, {793, 366}, {800, 50}, {810, 162}, {858, 338}, {858, 216}, {863, 96}, {868, 350}, {868, 186}, {868, 56}, {872, 384}, {896, 224}, {912, 152}, {946, 338}, {987, 14}, {1000, 200}
Geogebra: http://www.geogebra.org/cms/
Utfordringer: http://projecteuler.net/index.php?section=problems
[tex]M_{2147483647}[/tex] er ikke et primtall. 295257526626031 deler det.
Utfordringer: http://projecteuler.net/index.php?section=problems
[tex]M_{2147483647}[/tex] er ikke et primtall. 295257526626031 deler det.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
De siste talla her, i alle fall brorparten av dem, fra omtrent 109552577, skyldes sannsynligvis avrundingsfeil eller lignende.fuglagutt skrev:Jeg lagde likning for de to ytterste lagene, der de to lagene uttrykkes;
12x^2-48x+64=K
x er lengden på sidene i den store terningen.
Når K er et kvadrattall er det en gyldig løsning
Skrev et lite script og fant løsninger opp til 500,000,000;
4, 10, 32, 114, 420, 1562, 5824, 21730, 81092, 302634, 1129440,
4215122, 15731044, 58709050, 109552577, 124229839, 138907101,
153584363, 160396104, 168261625, 175073366, 182938887, 189750628, 197616149,204427890, 219105152, 225916893, 233782414, 248459676, 263136938, 269948679, 277814200, 284625941, 292491462, 299303203, 306114944, 312926685, 313980465, 320792206, 321845986, 328657727, 329711507, 335469468, 336523248, 343334989, 350146730, 351200510, 356958471, 358012251, 364823992, 365877772, 371635733, 372689513, 379501254, 380555034, 386312995, 387366775, 394178516, 395232296, 400990257, 402044037, 408855778, 409909558, 415667519, 416721299, 423533040, 430344781, 431398561, 437156522, 438210302, 445022043, 451833784, 452887564, 458645525, 459699305, 460753085, 466511046, 467564826, 474376567, 475430347, 482242088, 489053829, 495865570,
496919350