matematikk.net

I et land må alle ektepar ha nøyaktig ett guttebarn, og dersom de får et, får de ikke lov til å få flere barn etterpå.

Hvis vi antar at alle ekteparene i landet har oppfylt disse kravene, hva er da andelen jentebarn i befolkningen?

Vi må vel finne forventningsverdien for antall jentebarn per familie. Kall dette [tex]\<j\>[/tex]. Da vil andelen jentebarn være [tex]a=\frac{\<j\>}{\<j\>+\<g\>}=\frac{\<j\>}{\<j\>+1}[/tex], der [tex]\<g\>[/tex] er forventningsverdien for antall guttebarn per familie.

Vi må her gjøre en antakelse, så vi antar at sjansen for å få en jente er [tex]p=\frac{1}{2}[/tex].

Sannsynligheten for å få [tex]i[/tex] jenter og en gutt er [tex]p^{i}(1-p)[/tex].

Da vil [tex]\<j\>=(1-p)\sum_{i=0}^{\infty} i p^i =\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{\infty} i p^{i}=1[/tex]

Altså er andelen lik [tex]a=\frac{1}{2}[/tex].

Hvis vi velger å gjøre det for generell [tex]p[/tex], får vi [tex]\<j\>=\frac{p}{1-p}[/tex] og [tex]a=p[/tex].

Svaret stemmer ja, men jeg må innrømme at dette på en måte er et lurespørsmål. I og med at halvparten av alle som blir født er jenter medfører at halvparten vil være jenter uansett hvordan reglene for samfunnet er satt. Men du unngikk "fellen" (som er å forvirre forventingsverdien for antall jenter i en gitt familie med den totale andelen) likevel.

Burde forsåvidt ha nevnt at vi antar en lik fordeling av gutter og jenter, men det tok du jo også hensyn til.


Oppfølger: Hva er den forventede andelen jenter i en gitt slik familie?

Hvis jeg har forstått spørsmålet er vi ute etter [tex]\<a\>[/tex], men [tex]a=p[/tex] er en konstant, og [tex]\<a\>=\<p\>=p[/tex].

En lengre diskusjon om dette spørsmålet kan finne her.

Gitt at forklaringen på mathoverflow stemmer, hva er feil med den «offisielle» løsningen?

* Imagine you have 10 couples who have 10 babies. 5 will be girls. 5 will be boys. (Total babies made: 10, with 5 boys and 5 girls)
* The 5 couples who had girls will have 5 babies. Half (2.5) will be girls. Half (2.5) will be boys. Add 2.5 boys to the 5 already born and 2.5 girls to the 5 already born. (Total babies made: 15, with 7.5 boys and 7.5 girls.)
* The 2.5 couples that had girls will have 2.5 babies. Half (1.25) will be boys and half (1.25) will be girls. Add 1.25 boys to the 7.5 boys already born and 1.25 girls to the 7.5 already born. (Total babies: 17.5 with 8.75 boys and 8.75 girls).
* And so on, maintianing a 50/50 population.